Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=1+2 \cos (x) no ponto em que este corta o eixo y.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que sabemos):\n
A função é f(x)=1+2\cos(x). O problema pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que esse gráfico corta o eixo y.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • O ponto em que o gráfico corta o eixo y é o ponto com coordenada x=0 (porque o eixo y corresponde a x=0).\n
  • Para escrever a reta tangente em um ponto de abscissa a precisamos de duas coisas: o ponto (a,f(a)) e a inclinação (coeficiente angular) da tangente naquele ponto, que é f'(a).\n
    Portanto, o objetivo concreto é encontrar f(0) (para obter o ponto) e f'(0) (para obter a inclinação), e então escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Fórmula da reta tangente (fórmula que vamos usar) e interpretação das variáveis:\n
A equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa a é dada por
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui:\n
  • a é o ponto onde fazemos a tangente (a abscissa);\n
  • f(a) é a ordenada do ponto de tangência;\n
  • f'(a) é a derivada de f em a, que representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.\n
    Explicação rápida do que é f'(a): f'(a) é o limite do coeficiente angular da secante quando um ponto na curva se aproxima do ponto a; geometricamente, é a inclinação da reta que “toca” a curva naquele ponto.

Passo 3

Determinar o ponto de tangência (calcular f(0)):\n
Como o corte com o eixo y ocorre em x=0, precisamos de f(0). Calculamos:
f(0)=1+2\cos(0).
Sabemos que \cos(0)=1, portanto
f(0)=1+2\cdot 1=3.
Logo o ponto de tangência é (0,3).

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) (regra usada e por quê):\n
A derivada de f(x)=1+2\cos(x) usa duas regras básicas:\n
  • A derivada de uma constante é 0.\n
  • A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função (regra do fator constante).\n
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x) (fato padrão de cálculo diferencial).\n
    Aplicando isso:
f'(x)=0 + 2\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=2\cdot(-\sin(x))=-2\sin(x).
Portanto f'(x)=-2\sin(x).

Passo 5

Avaliar a inclinação no ponto x=0 (calcular f'(0)):\n
Substituímos x=0 em f'(x):
f'(0)=-2\sin(0).
Sabemos que \sin(0)=0, então
f'(0)=-2\cdot 0=0.
Isso significa que a reta tangente é horizontal no ponto de tangência (inclinação zero).

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2:\n
Tomando a=0, f(0)=3 e f'(0)=0, a fórmula
y=f(a)+f'(a)\,(x-a)
fica
y=f(0)+f'(0)\,(x-0)=3+0\cdot x.
Simplificando,
y=3.
Interpretando: a reta tangente é a reta horizontal que passa por (0,3).

Resposta

y=3

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