Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que este corta o eixo
.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que sabemos):\n
A função é . O problema pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que esse gráfico corta o eixo
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
A função é
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- O ponto em que o gráfico corta o eixo
é o ponto com coordenada (porque o eixo corresponde a ).\n - Para escrever a reta tangente em um ponto de abscissa
precisamos de duas coisas: o ponto e a inclinação (coeficiente angular) da tangente naquele ponto, que é .\n
Portanto, o objetivo concreto é encontrar(para obter o ponto) e (para obter a inclinação), e então escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Fórmula da reta tangente (fórmula que vamos usar) e interpretação das variáveis:\n
A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa
é dada por
A equação da reta tangente à curva
Aqui:\n
-
é o ponto onde fazemos a tangente (a abscissa);\n -
é a ordenada do ponto de tangência;\n -
é a derivada de em , que representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.\n
Explicação rápida do que é: é o limite do coeficiente angular da secante quando um ponto na curva se aproxima do ponto ; geometricamente, é a inclinação da reta que “toca” a curva naquele ponto.
Passo 3
Determinar o ponto de tangência (calcular
):\n
Como o corte com o eixo ocorre em
, precisamos de
. Calculamos:
Como o corte com o eixo
Sabemos que
, portanto
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 4
Calcular a derivada
(regra usada e por quê):\n
A derivada de usa duas regras básicas:\n
A derivada de
- A derivada de uma constante é
.\n - A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função (regra do fator constante).\n
- A derivada de
é (fato padrão de cálculo diferencial).\n
Aplicando isso:
Portanto
.
Passo 5
Avaliar a inclinação no ponto
(calcular
):\n
Substituímos em
:
Substituímos
Sabemos que
, então
Isso significa que a reta tangente é horizontal no ponto de tangência (inclinação zero).
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2:\n
Tomando ,
e
, a fórmula
Tomando
fica
Simplificando,
Interpretando: a reta tangente é a reta horizontal que passa por
.