Seja I=\iiint_{S} y d V em que S é a região sólida do semiespaço y \geqslant 0 delimitada acima pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e abaixo pelo plano x y.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
(b) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(c) Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\iiint_{S} y\,dV
onde S é a região sólida do semiespaço y\geqslant 0 limitada acima pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e abaixo pelo plano x y (isto é, o plano z=0). As perguntas são:
(a) escrever I como integral tripla iterada em coordenadas cartesianas (sem calcular);
(b) escrever I como integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas (sem calcular);
(c) calcular I usando o sistema que eu achar mais conveniente.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{integrando: }y,\\\ &\text{superfície superior: }z=4-x^{2}-y^{2},\\\ &\text{superfície inferior: }z=0,\\\ &\text{restrição adicional: }y\geqslant 0. \end{aligned}ííçã

Passo 2

(a) Montagem da integral em coordenadas cartesianas (sem calcular).
Primeiro projetamos S no plano xy. A interseção do paraboloide com z=0 é dada por 4-x^{2}-y^{2}=0, ou seja a circunferência x^{2}+y^{2}=4. Como estamos no semiespaço y\geqslant 0, a projeção D no plano xy é o semidisco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 4,\; y\geqslant 0\}.
Portanto, uma forma natural de iterar é primeiro em z, depois em y e por fim em x. Assim, sem calcular,
\boxed{\,I=\int_{x=-2}^{2}\int_{y=0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{z=0}^{4-x^{2}-y^{2}} y\,dz\,dy\,dx.\,}

Passo 3

(b) Montagem da integral em coordenadas cilíndricas (sem calcular).
Recordando a mudança para coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz (o fator r é o Jacobiano da transformação). A superfície z=4-x^{2}-y^{2} vira z=4-r^{2}. A condição y\geqslant 0 implica \sin\theta\geqslant 0, ou seja \theta\in[0,\pi]. O raio vai de r=0 até a interseção com r^{2}=4, isto é r=2. Mantendo a ordem z depois r depois \theta, temos, sem calcular,
\boxed{\,I=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} \big(r\sin\theta\big)\, r\,dz\,dr\,d\theta,\,}
onde escrevi y=r\sin\theta e incluí o fator r do Jacobiano.

Passo 4

Escolha do sistema para calcular (explicação didática e motivo).
Há simetria circular no domínio (interseção com z=0 é um disco de raio 2), e a função y em cilíndricas fica simples: y=r\sin\theta. Além disso o limite superior em z depende apenas de r 4-r^{2}). Tudo isso torna as coordenadas cilíndricas muito convenientes — integrando em z fica imediato, depois integra-se em r e \theta. Vou proceder portanto em coordenadas cilíndricas.
Lembrete prático (mini-aula): em coordenadas cilíndricas
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz,
onde r\geqslant 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy. O fator r aparece porque áreas/volumes em polares exigem esse ajuste (jacobiano).

Passo 5

Escrever a integral em cilíndricas pronta para cálculo e integrar em z.
A integral em cilíndricas que vamos calcular é
I=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} r^{2}\sin\theta \;dz\,dr\,d\theta,
pois y=r\sin\theta e dV=r\,dz\,dr\,d\theta produzem o integrando r\cdot r\sin\theta=r^{2}\sin\theta.
Integrando primeiro em z (a integrand não depende de z), obtemos
\int_{z=0}^{4-r^{2}} r^{2}\sin\theta \;dz = r^{2}\sin\theta\cdot(4-r^{2}).
Assim a integral reduz-se a
I=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} r^{2}\sin\theta\,(4-r^{2}) \;dr\,d\theta.

Passo 6

Separar integrais e calcular a parte angular.
Repare que a expressão agora é produto de uma função de \theta por uma função de r, logo podemos separar:
I=\left(\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{r=0}^{2} r^{2}(4-r^{2})\,dr\right).
Calcule a integral angular:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)+1=2.

Passo 7

Calcular a integral radial.
Expandindo o integrando radial:
r^{2}(4-r^{2}) = 4r^{2}-r^{4}.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} (4r^{2}-r^{4})\,dr = 4\int_{0}^{2} r^{2}\,dr - \int_{0}^{2} r^{4}\,dr.
Calcule cada primitiva:
\int r^{2}\,dr = \tfrac{r^{3}}{3},\qquad \int r^{4}\,dr = \tfrac{r^{5}}{5}.
Avaliado em 0 a 2,
4\cdot\frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{5}}{5} = 4\cdot\frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{32}{3} - \frac{32}{5}.
Colocando em comum denominador:
\frac{32}{3}-\frac{32}{5} = 32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=32\cdot\frac{2}{15}=\frac{64}{15}.

Passo 8

Combinar os resultados e preparar a resposta final.
Multiplicando a contribuição angular (Passo 6) pela radial (Passo 7) temos
I = 2 \cdot \frac{64}{15} = \frac{128}{15}.

Resposta

\dfrac{128}{15}

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