Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
(b) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(c) Calcule
usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
(b) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região sólida do semiespaço
limitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
(isto é, o plano
). As perguntas são:
(a) escrever como integral tripla iterada em coordenadas cartesianas (sem calcular);
(b) escrever como integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas (sem calcular);
(c) calcular usando o sistema que eu achar mais conveniente.
(a) escrever
(b) escrever
(c) calcular
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
(a) Montagem da integral em coordenadas cartesianas (sem calcular).
Primeiro projetamos
no plano
. A interseção do paraboloide com
é dada por
, ou seja a circunferência
. Como estamos no semiespaço
, a projeção
no plano
é o semidisco
Portanto, uma forma natural de iterar é primeiro em
, depois em
e por fim em
. Assim, sem calcular,
Passo 3
(b) Montagem da integral em coordenadas cilíndricas (sem calcular).
Recordando a mudança para coordenadas cilíndricas:
e o elemento de volume é
(o fator
é o Jacobiano da transformação). A superfície
vira
. A condição
implica
, ou seja
. O raio vai de
até a interseção com
, isto é
. Mantendo a ordem
depois
depois
, temos, sem calcular,
onde escrevi
e incluí o fator
do Jacobiano.
Passo 4
Escolha do sistema para calcular (explicação didática e motivo).
Há simetria circular no domínio (interseção com
é um disco de raio
), e a função
em cilíndricas fica simples:
. Além disso o limite superior em
depende apenas de
(é
). Tudo isso torna as coordenadas cilíndricas muito convenientes — integrando em
fica imediato, depois integra-se em
e
. Vou proceder portanto em coordenadas cilíndricas.
Lembrete prático (mini-aula): em coordenadas cilíndricas
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo no plano
. O fator
aparece porque áreas/volumes em polares exigem esse ajuste (jacobiano).
Passo 5
Escrever a integral em cilíndricas pronta para cálculo e integrar em
.
A integral em cilíndricas que vamos calcular é
pois
e
produzem o integrando
.
Integrando primeiro em
(a integrand não depende de
), obtemos
Assim a integral reduz-se a
Passo 6
Separar integrais e calcular a parte angular.
Repare que a expressão agora é produto de uma função de
por uma função de
, logo podemos separar:
Calcule a integral angular:
Passo 7
Calcular a integral radial.
Expandindo o integrando radial:
Integramos termo a termo:
Calcule cada primitiva:
Avaliado em
a
,
Colocando em comum denominador:
Passo 8
Combinar os resultados e preparar a resposta final.
Multiplicando a contribuição angular (Passo 6) pela radial (Passo 7) temos