Assinalar qual alternativa abaixo representa um operador auto-adjunto.
(a) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)= (y,-x), forall(x, y) in R^2
(b) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)= (2 x+3 y, 3 x+4 y), forall(x, y) in R^2
(c) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)= (x+2 y, y), forall(x, y) in R^2
(d) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)= (5 x-y, 2 x+5 y), forall(x, y) in R^2
(e) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)= (2 x+3 y, x+4 y), forall(x, y) in R^2

Passo 1

Beleza, o exercício é de Álgebra Linear e pede pra gente achar qual das transformações lineares em ℝ² é auto-adjunta. Tem 5 alternativas (a) até (e), cada uma define um operador T(x,y). O que vamos usar: representação matricial dessas transformações e a definição de operador auto-adjunto.

Passo 2

Teoria rápida: num espaço euclidiano com produto interno padrão, todo operador linear T tem matriz A. O adjunto T^* corresponde à matriz transposta A^T. Então T é auto-adjunto se e só se
T = T^* Long<=ftrightarrow A = A^T,
ou seja, a matriz tem que ser simétrica.

Passo 3

Opção (a):
T(x,y)=(y,-x) → matriz
Aa = 0 & 1 -1 & 0
A transposta é
Aa^T = 0 & -1 1 & 0,
que não bate com Aa. Logo, (a) não é auto-adjunta.

Passo 4

Opção (b):
T(x,y)=(2x+3y,,3x+4y) → matriz
Ab = 2 & 3 3 & 4
A transposta é
Ab^T = 2 & 3 3 & 4 = Ab
Perfeito, é simétrica. Isso indica que (b) é auto-adjunta.

Passo 5

Opção (c):
T(x,y)=(x+2y,,y) → matriz
Ac = 1 & 2 0 & 1, Ac^T = 1 & 0 2 & 1,
não são iguais. Então (c) não vale.

Passo 6

Opção (d):
T(x,y)=(5x-y,,2x+5y) → matriz
Ad = 5 & -1 2 & 5, Ad^T = 5 & 2 -1 & 5,
tá diferente, logo não é.

Passo 7

Opção (e):
T(x,y)=(2x+3y,,x+4y) → matriz
Ae = 2 & 3 1 & 4, Ae^T = 2 & 1 3 & 4,
também não bate. Só (b) ficou certinho.

Resposta

A alternativa correta é a (b).

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