Assinalar qual alternativa abaixo representa um operador auto-adjunto.
(a) dado por
(b) dado por
(c) dado por
(d) dado por
(e) dado por
Passo 1
Beleza, o exercício é de Álgebra Linear e pede pra gente achar qual das transformações lineares em ℝ² é auto-adjunta. Tem 5 alternativas (a) até (e), cada uma define um operador . O que vamos usar: representação matricial dessas transformações e a definição de operador auto-adjunto.
Passo 2
Teoria rápida: num espaço euclidiano com produto interno padrão, todo operador linear tem matriz . O adjunto corresponde à matriz transposta . Então é auto-adjunto se e só se
ou seja, a matriz tem que ser simétrica.
Passo 3
Opção (a): → matriz
A transposta é
Aa^T = 0 & -1 1 & 0,
que não bate com Aa. Logo, (a) não é auto-adjunta.
Passo 4
Opção (b): T(x,y)=(2x+3y,,3x+4y) → matriz
Ab = 2 & 3 3 & 4
A transposta é
Ab^T = 2 & 3 3 & 4 = Ab
Perfeito, é simétrica. Isso indica que (b) é auto-adjunta.