Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Considere as afirmações a seguir:
(I) Para quaisquer u, v in V vale que
|alpha u+beta v|^2=alpha^2|u|^2+2 alpha betalang<= u, vrang<=+beta^2|v|^2, para quaisquer alpha, beta in R.
(II) Para quaisquer u, v, w in V vale que
|w-u|^2+|w-v|^2 & =12|u-v|^2 & +2|w-12(u+v)|^2
(III) Se T: V V é uma isometria, então
|lang<= T u, T vrang<=| <=|u||v|,
para quaiquer u, v in V.
Podemos afirmar que
(a) Apenas ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.
(b)Apenas ( I ) e ( I I ) são verdadeiras
(c) (I),(I I) e (III) são falsas
(d) (I),(I I) e (III) são verdadeiras
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente analisar três afirmações que envolvem produto interno e norma em um espaço vetorial V, e responder quais delas são verdadeiras.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de norma via produto interno, isto é, |x|^2=lang<= x,xrang<=.
  • Linearidade e simetria do produto interno.
  • Desigualdade de Cauchy–Schwarz.
  • Propriedade de isometria (preserva norma).

Passo 2

Verificando (I):
Queremos ver que
|alpha u+beta v|^2=alpha^2|u|^2+2alphabetalang<= u,vrang<=+beta^2|v|^2
Começando pela definição,
|alpha u+beta v|^2=lang<= alpha u+beta v,;alpha u+beta vrang<=
Pela linearidade em cada argumento e simetria ( lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=), isso vira
&=alpha^2lang<= u,urang<= +alphabetalang<= u,vrang<= +betaalphalang<= v,urang<= +beta^2lang<= v,vrang<= &=alpha^2|u|^2 +2alphabetalang<= u,vrang<= +beta^2|v|^2
Logo (I) é verdadeira.

Passo 3

Verificando (II):
A afirmação é
|w-u|^2+|w-v|^2 =12|u-v|^2 +2l|w-tfrac12(u+v)r|^2
  1. Lado esquerdo:
    |w-u|^2+|w-v|^2 &=llang<= w-u,w-urrang<= +llang<= w-v,w-vrrang<= &=lang<= w,wrang<=-2lang<= w,urang<=+lang<= u,urang<= +lang<= w,wrang<=-2lang<= w,vrang<=+lang<= v,vrang<= &=2lang<= w,wrang<=-2lang<= w,u+vrang<=+lang<= u,urang<=+lang<= v,vrang<=
  2. Lado direito:
    — Primeiro termo:
tfrac12|u-v|^2 =tfrac12l(lang<= u,urang<=-2lang<= u,vrang<=+lang<= v,vrang<=r)
— Segundo termo:
2l|w-tfracu+v2r|^2 &=2llang<= w-tfracu+v2,,w-tfracu+v2rrang<= &=2l(lang<= w,wrang<=-lang<= w,u+vrang<= +tfrac14lang<= u+v,u+vrang<=r) &=2lang<= w,wrang<=-2lang<= w,u+vrang<= +tfrac12l(lang<= u,urang<=+2lang<= u,vrang<=+lang<= v,vrang<=r)
Somando os dois termos do lado direito e juntando as partes, dá exatamente
2lang<= w,wrang<=-2lang<= w,u+vrang<=+lang<= u,urang<=+lang<= v,vrang<=,
que bate com o lado esquerdo. Então (II) também é verdadeira.

Passo 4

Verificando (III):
Diz que se Tcolon Vto V é isometria, então
|lang<= Tu,Tvrang<=|<=|u|;|v|
Como T é isometria, ele conserva norma:
|Tu|=|u|,|Tv|=|v|
E aí basta aplicar Cauchy–Schwarz no par (Tu,Tv):
|lang<= Tu,Tvrang<=|<=|Tu|;|Tv|=|u|;|v|
Logo (III) também é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a (d): (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.

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