Seja um espaço vetorial munido de um produto interno . Considere as afirmações a seguir:
(I) Para quaisquer vale que , para quaisquer .
(II) Para quaisquer vale que
(III) Se T: V V é uma isometria, então
|lang<= T u, T vrang<=| <=|u||v|,
para quaiquer u, v in V.
Podemos afirmar que
(a) Apenas ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.
(b)Apenas ( I ) e ( I I ) são verdadeiras
(c) (I),(I I) e (III) são falsas
(d) (I),(I I) e (III) são verdadeiras
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente analisar três afirmações que envolvem produto interno e norma em um espaço vetorial V, e responder quais delas são verdadeiras.
Conteúdo que vamos usar:
Definição de norma via produto interno, isto é, |x|^2=lang<= x,xrang<=.
Pela linearidade em cada argumento e simetria (lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=), isso vira &=alpha^2lang<= u,urang<= +alphabetalang<= u,vrang<= +betaalphalang<= v,urang<= +beta^2lang<= v,vrang<= &=alpha^2|u|^2 +2alphabetalang<= u,vrang<= +beta^2|v|^2
Logo (I) é verdadeira.
— Segundo termo: 2l|w-tfracu+v2r|^2 &=2llang<= w-tfracu+v2,,w-tfracu+v2rrang<= &=2l(lang<= w,wrang<=-lang<= w,u+vrang<= +tfrac14lang<= u+v,u+vrang<=r) &=2lang<= w,wrang<=-2lang<= w,u+vrang<= +tfrac12l(lang<= u,urang<=+2lang<= u,vrang<=+lang<= v,vrang<=r)
Somando os dois termos do lado direito e juntando as partes, dá exatamente