Considere em R^3 o produto interno canônico e a base
B=(0,0,1),(1,2,1),(1,-3,0)
de R^3. Seja barB=u1, u2, u3 a base ortonormal de R^3 fornecida pelo processo de Gram-Schmidt aplicado à base B. Podemos afirmar que u1+u2+u3 é igual a
(a) (3raiz5, 1raiz5,-1)
(b) (3raiz5, 1raiz5, 1)
(c) (3raiz5,-1raiz5, 1)
(d) (-3raiz5, 1raiz5, 1)
(e) (3raiz5, 1raiz5,-1)

Passo 1

E aí, tudo certo? O exercício pede pra ortonormalizar a base
B = b1=(0,0,1),;b2=(1,2,1),;b3=(1,-3,0)
em R^3 usando o processo de Gram–Schmidt e, no final, achar
u1 + u2 + u3
O conteúdo envolve produto interno canônico
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3, projeção de vetores
proju(v) = lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
e normalização
u = v|v|, onde |v| = raizlang<= v,vrang<=.

Passo 2

Começa com
v1 = b1 = (0,0,1)
Como |v1| = raiz0^2+0^2+1^2=1, fica
u1 = v1|v1| = (0,0,1)

Passo 3

Agora
v2 = b2 - proju1(b2)
Calcula-se
lang<= b2,u1rang<= = 1, lang<= u1,u1rang<==1, logo
proju1(b2) = 1cdot(0,0,1) = (0,0,1).
Então
v2 = (1,2,1) - (0,0,1) = (1,2,0), |v2| = raiz1^2+2^2+0^2 = raiz5,
u2 = v2raiz5 = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)

Passo 4

Para v3:
v3 = b3 - proju1(b3) - proju2(b3)
Como lang<= b3,u1rang<==0, a primeira projeção é zero. Para a segunda:
lang<= b3,u2rang<= = 1cdottfrac1raiz5 + (-3)cdottfrac2raiz5 = 1-6raiz5 = -raiz5,
proju2(b3) = -raiz5,u2 = (-1,-2,0)
Logo
v3 = (1,-3,0) - (-1,-2,0) = (2,-1,0), |v3| = raiz2^2+(-1)^2+0^2 = raiz5,
u3 = v3raiz5 = l(tfrac2raiz5,,-tfrac1raiz5,,0r)

Passo 5

Basta somar:
u1 + u2 + u3 = (0,0,1) + l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5,0r) + l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5,0r) = l(tfrac3raiz5,,tfrac1raiz5,,1r)

Resposta

(3raiz5,,1raiz5,,1) (alternativa b)

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