Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) ( u, v, w) LD, então u // v // w;
( ) Se (u, v, w) é LD, então (u, v) tanto pode ser LD como LI;
( ) u wed>= v=0 Leftrightarrow u perp v;
( ) Se (u, v, w) é base, então (u, 2v, 3w) é também base;
( ) Se A, B e C são ponto colineares, então |AC|=|AB|+|BC|.

Passo 1

Resumo do exercício: Temos cinco afirmações sobre vetores que envolvem conceitos como dependência linear, paralelismo, produto vetorial, bases e pontos colineares. Vamos precisar entender esses conceitos para determinar se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

Primeira afirmação: "( u, v, w) LD, então u // v // w".
Análise: Dependência linear (LD) significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. No entanto, isso não implica necessariamente que todos os vetores sejam paralelos. Vetores podem ser dependentes sem estarem na mesma direção.
Resposta: Falso (F)

Passo 3

Segunda afirmação: “Se ( u, v, w) é LD, então ( u, v) tanto pode ser LD como LI”.
Análise: Se três vetores são linearmente dependentes, qualquer par de dois vetores pode ser linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Não há uma regra fixa, depende dos vetores específicos.
Resposta: Verdadeiro (V)

Passo 4

Terceira afirmação: “ u wed>= v=0 Leftrightarrow u perp v”.
Análise: O produto vetorial de dois vetores é zero se e somente se os vetores são paralelos, não necessariamente perpendiculares. Vetores perpendiculares têm um produto vetorial cujo módulo é máximo, não zero.
Resposta: Falso (F)

Passo 5

Quarta afirmação: “Se ( u, v, w) é base, então ( u, 2v, 3w) é também base”.
Análise: Multiplicar vetores de uma base por escalares diferentes de zero preserva a independência linear e a capacidade de gerar o espaço. Portanto, a nova coleção de vetores também forma uma base.
Resposta: Verdadeiro (V)

Passo 6

Quinta afirmação: "Se A, B e C são pontos colineares, então |AC| = |AB| + |BC|".
Análise: A igualdade |AC| = |AB| + |BC| só é válida se C estiver além de B na mesma linha. Se C estiver entre A e B, a relação correta seria |AB| = |AC| + |CB|. Portanto, a afirmação nem sempre é verdadeira.
Resposta: Falso (F)

Resposta

F, V, F, V, F

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