Mostre que a interseção entre dois semi-planos é um conjunto convexo. Conclua de forma indutiva que a interseção entre n semi-planos é ainda um conjunto convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a interseção de dois semi-planos é um conjunto convexo. Depois, usar esse resultado para dizer que a interseção de n semi-planos também é convexo. A matéria aqui é sobre conjuntos convexos e semi-planos, e vamos precisar entender o que cada um significa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, toda a reta que une esses pontos também está dentro do conjunto. Em outras palavras, se você pegar qualquer dois pontos e desenhar uma linha entre eles, essa linha não sai do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos definir o que é um semi-plano. No plano, um semi-plano é uma das duas metades que você obtém quando divide o plano com uma reta. Matematicamente, podemos representar um semi-plano como todos os pontos (x, y) que satisfazem uma inequação linear do tipo ax + by + c >= 0 .

Passo 4

Vamos mostrar que a interseção de dois semi-planos é convexo. Seja S1 e S2 dois semi-planos. Para provar que S1 cap S2 é convexo, pegamos dois pontos P e Q em S1 cap S2 . Como P e Q estão em ambos os semi-planos, qualquer combinação linear entre eles também estará em S1 e em S2 . Portanto, a reta que liga P e Q está totalmente dentro de S1 cap S2 , o que mostra que a interseção é convexo.

Passo 5

Agora, vamos usar indução matemática para estender isso para n semi-planos. A base da indução já foi estabelecida com dois semi-planos. Suponha que a interseção de k semi-planos seja convexo. Ao adicionar mais um semi-plano, a interseção passa a ser a interseção dos k semi-planos anteriores (que é convexo, pela hipótese de indução) com mais um semi-plano. Já sabemos, pelo Passo 4, que a interseção de dois semi-planos é convexa. Então, a interseção de um conjunto convexo com mais um semi-plano também é convexo. Assim, por indução, a interseção de n semi-planos é convexo.

Resposta

A interseção de n semi-planos é um conjunto convexo.

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