Mostre que a interseção entre dois semi-planos é um conjunto convexo. Conclua de forma indutiva que a interseção entre
semi-planos é ainda um conjunto convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a interseção de dois semi-planos é um conjunto convexo. Depois, usar esse resultado para dizer que a interseção de
semi-planos também é convexo. A matéria aqui é sobre conjuntos convexos e semi-planos, e vamos precisar entender o que cada um significa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, toda a reta que une esses pontos também está dentro do conjunto. Em outras palavras, se você pegar qualquer dois pontos e desenhar uma linha entre eles, essa linha não sai do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos definir o que é um semi-plano. No plano, um semi-plano é uma das duas metades que você obtém quando divide o plano com uma reta. Matematicamente, podemos representar um semi-plano como todos os pontos
que satisfazem uma inequação linear do tipo
.
Passo 4
Vamos mostrar que a interseção de dois semi-planos é convexo. Seja
e
dois semi-planos. Para provar que
é convexo, pegamos dois pontos
e
em
. Como
e
estão em ambos os semi-planos, qualquer combinação linear entre eles também estará em
e em
. Portanto, a reta que liga
e
está totalmente dentro de
, o que mostra que a interseção é convexo.
Passo 5
Agora, vamos usar indução matemática para estender isso para
semi-planos. A base da indução já foi estabelecida com dois semi-planos. Suponha que a interseção de
semi-planos seja convexo. Ao adicionar mais um semi-plano, a interseção passa a ser a interseção dos
semi-planos anteriores (que é convexo, pela hipótese de indução) com mais um semi-plano. Já sabemos, pelo Passo 4, que a interseção de dois semi-planos é convexa. Então, a interseção de um conjunto convexo com mais um semi-plano também é convexo. Assim, por indução, a interseção de
semi-planos é convexo.
Resposta
A interseção de
semi-planos é um conjunto convexo.