Assinale para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) LI, então ;
( ) Se , então
()
( )Se é base, então é também base;
( ) Se e são pontos colineares, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lista de cinco afirmações sobre vetores e precisa dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar conhecimentos de Álgebra Linear, como independência linear, projeções, produto interno, bases e propriedades de pontos colineares para resolver isso.
Vamos lembrar que a projeção de um vetor em outro depende do ângulo entre eles e de suas magnitudes. A projeção de $\vec{v}$ em $\vec{w}$ é diferente da projeção de $\vec{w}$ em $\vec{v}$ a menos que eles sejam múltiplos escalares um do outro, o que não acontece se forem linearmente independentes. Portanto, essa afirmação é Falsa (F).
Passo 3
Afirmação 2:Se $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ são linearmente dependentes, então $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
O determinante formado por três vetores $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ é zero se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Isso é uma propriedade direta da Álgebra Linear. Logo, essa afirmação é Verdadeira (V).
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua norma: $\vec{u} \cdot \vec{u} = | \vec{u} |^2$. A afirmação diz que é igual à norma simples, o que só seria verdade se a norma fosse 1 ou 0, o que não é geral. Portanto, essa afirmação é Falsa (F).
Passo 5
Afirmação 4:Se $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ é uma base, então $(\vec{u} + \vec{v}, \vec{w}, \vec{u} + \vec{v} + \vec{w})$ também é uma base.
Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Ao fazer combinações lineares desses vetores, a independência é mantida se não houver redundância. Analisando, vemos que $\vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ introduzem novas direções, mantendo a independência. Então, essa afirmação é Verdadeira (V).
Passo 6
Afirmação 5:Se A, B e C são pontos colineares, então $| \overrightarrow{AC} | = | \overrightarrow{AB} | + | \overrightarrow{BC} |$.
Essa igualdade só é válida se B estiver exatamente entre A e C na mesma reta. Se os pontos não estiverem nessa ordem, a igualdade não se mantém. Logo, a afirmação geral é Falsa (F).