Escreva a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e exprima o vetor u=-4 f1+f2-f3 em função de e1, e2, e3, sabendo que f1=(-3,1,1)E, f2=(1,-2,1)E e f3=(1,2,0)E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A questão pede para a gente:
  1. Encontrar a matriz que transforma coordenadas da base E = (e1, e2, e3) para a base F = (f1, f2, f3).
  2. Expressar o vetor u = -4 f1 + f2 - f3 usando os vetores da base E.
Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como representar vetores em diferentes bases utilizando coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma mudança de base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. Quando mudamos de uma base para outra, queremos expressar os mesmos vetores usando um conjunto diferente de vetores básicos.
A matriz de mudança de base de E para F nos ajuda a converter as coordenadas de qualquer vetor da base E para a base F.

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base de E para F, precisamos expressar cada vetor da base F em termos da base E. Felizmente, a questão já nos fornece as coordenadas de f1, f2 e f3 na base E:
f1 = (-3, 1, 1)E, f2 = (1, -2, 1)E, f3 = (1, 2, 0)E

Passo 4

A próxima etapa é montar a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz será formada pelas coordenadas dos vetores da base F expressos na base E. Então, a matriz PE to F ficará assim:
PE to F = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0

Passo 5

Agora, vamos expressar o vetor u = -4 f1 + f2 - f3 em termos da base E. Para isso, substituímos cada fi pelas suas representações na base E que já conhecemos.
Primeiro, substituímos:
u = -4(-3, 1, 1) + (1, -2, 1) - (1, 2, 0)

Passo 6

Agora, vamos realizar as operações de multiplicação e subtração dos vetores:
-4(-3, 1, 1) = (12, -4, -4) + (1, -2, 1) = (12 + 1, -4 + (-2), -4 + 1) = (13, -6, -3) - (1, 2, 0) = (13 - 1, -6 - 2, -3 - 0) = (12, -8, -3)

Passo 7

Portanto, o vetor u na base E é:
u = (12, -8, -3)E

Resposta

A matriz de mudança da base E para F é
PE to F = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
E o vetor u, expresso na base E, é
u = (12, -8, -3)E

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