Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
(a) (\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) () Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Se P(A)=1 / 3 e P(B \mid A)=3 / 5, então A e B podem ser disjuntos.
(b) (\mathbf{1 , 0} ponto) ( ) Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Se P(A \cup B)=0,5, P(A)=0,2 e P(A \cap B)=0,1, então P(B)=0,3.
(c) (1,0 ponto) ( ) Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando cinco motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Assuma que há 6 motores defeituosos numa caixa. A probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa é maior que 50 \%.

Passo 1

O exercício pede para validar três afirmações sobre probabilidades, usando:
  1. definição de eventos disjuntos e probabilidade condicional;
  2. fórmula da união de dois eventos;
  3. modelo hipergeométrico para amostragem sem reposição.

Passo 2

Para o item (a), eventos A e B são disjuntos se e somente se \,P(A\cap B)=0. Por definição
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Dado P(A)=\tfrac{1}{3} e P(B\mid A)=\tfrac{3}{5}, temos
P(A\cap B)=P(B\mid A)\,P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{5}\neq0,
logo não podem ser disjuntos.

Passo 3

Para o item (b), usamos a identidade
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Substituindo P(A\cup B)=0,5, P(A)=0,2 e P(A\cap B)=0,1, obtemos
0,5=0,2+P(B)-0,1 \quad\Longrightarrow\quad P(B)=0,5-0,2+0,1=0,4\neq0,3.
Portanto, a afirmativa está incorreta.

Passo 4

No item (c), a caixa tem 50 motores, 6 defeituosos e 44 bons. O inspetor testa 5 sem reposição. A probabilidade de examinar todos é a de haver pelo menos um defeituoso na amostra de 5, isto é
P(\text{todos serão testados}) =1-P(\text{nenhum defeituoso}) =1-\frac{\binom{44}{5}}{\binom{50}{5}}.ã
Calculando aproximado:
\frac{\binom{44}{5}}{\binom{50}{5}} \approx0,514 \quad\Longrightarrow\quad P(\text{todos serão testados}) \approx1-0,514=0,486<0,50.ã
Logo a probabilidade não ultrapassa 50\%, e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F

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