QUESTÃO 01 ( \mathbf{1 . 5} pontos) Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50 \% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas.
i) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?
ii) Qual é a probabilidade de ocorrer 9 corretas?

Passo 1

O enunciado descreve um teste de 10 questões com probabilidade de acerto p=0,5 em cada pergunta. A variável aleatória X segue distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,5. Vamos calcular (i) P(X>6) e (ii) P(X=9).

Passo 2

Pela definição de distribuição binomial, a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

Passo 3

Para P(X>6), somamos as probabilidades de k=7,8,9,10:
P(X>6)=\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}(0,5)^{k}(0,5)^{10-k} =\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}(0,5)^{10}.
Como \binom{10}{7}=120, \binom{10}{8}=45, \binom{10}{9}=10 e \binom{10}{10}=1, a soma dos coeficientes é 176. Logo
P(X>6)=176\cdot(0,5)^{10}=\frac{176}{1024}\approx0,171875.

Passo 4

Para P(X=9), usamos k=9:
P(X=9)=\binom{10}{9}(0,5)^{9}(0,5)^{1} =10\cdot(0,5)^{10} =\frac{10}{1024}\approx0,009765625.

Resposta

(i) P(X>6)=\frac{176}{1024}\approx0,171875
(ii) P(X=9)=\frac{10}{1024}\approx0,009765625

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