Assinale as afirmações como verdadeiras ou falsas:
(a) Os pontos A(-1,3) e B(1,-2) são origem e extremidade, nessa ordem, do segmento representado pelo vetor v=(2,-5).
(b) O vetor w=(-12,6,3) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u=(2,-4,1) e v=(-5,1,2).
(c) Dizemos que os vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) são colineares se u1=k v1, para algum k in R.
(d) Se A(x1, x2, x3) e B(y1, y2, y3) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de A B é
M(x1+y12, x2+y22, x3+y32)
(e) O módulo do vetor v=(x, y, z) é dado por |v|=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar cinco afirmações sobre vetores e pontos no espaço. O conteúdo principal aqui é Vetores no Espaço, envolvendo conceitos como origem, extremidade, combinação linear, colinearidade, ponto médio e módulo de vetores. Para resolver, vamos precisar entender cada um desses conceitos e aplicar passo a passo nas afirmações (a) a (e).

Passo 2

Afirmação (a): Os pontos A(-1,3) e B(1,-2) são origem e extremidade, nessa ordem, do segmento representado pelo vetor v = (2,-5) .
Vamos entender isso. Um vetor é definido pela diferença entre o ponto final e o ponto inicial. Se A é a origem e B a extremidade, então:
v = B - A = (1 - (-1), -2 - 3) = (2, -5)
Isso confirma que v = (2, -5) é o vetor que vai de A a B . Logo, a afirmação é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): O vetor [\vec{w} = (-12,6,3)) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Para ver se é uma combinação linear de e , precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Agora, .
  4. Verificando na primeira equação: → Confere.
Então, e satisfazem todas as equações. Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): Dizemos que os vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) são colineares se u1 = k v1 , para algum k in R .
A colinearidade dos vetores significa que um é um múltiplo escalar do outro em todos os componentes. Ou seja, existe um k tal que:
u = k cdot v Rightarrow u1 = k v1, u2 = k v2, u3 = k v3
A afirmação apenas diz que u1 = k v1 , mas não menciona os outros componentes. Isso não garante que os vetores sejam colineares, já que os demais componentes podem não seguir a mesma proporção. Portanto, a afirmação é Falsa.

Passo 5

Afirmação (d): Se A(x1, x2, x3) e B(y1, y2, y3) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é M(x1+y12, x2+y22, x3+y32) .
Essa é a fórmula clássica do ponto médio no espaço tridimensional. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos A e B , simplesmente tiramos a média das coordenadas correspondentes:
M(x1+y12, x2+y22, x3+y32)
Logo, a afirmação está Verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): O módulo do vetor v = (x, y, z) é dado por |v| = raizx^2 + y^2 + z^2 .
Essa é a definição padrão do módulo (ou norma) de um vetor no espaço tridimensional. Calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira

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