Assinale as afirmações como verdadeiras ou falsas:
(a) Os pontos e são origem e extremidade, nessa ordem, do segmento representado pelo vetor .
(b) O vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
(c) Dizemos que os vetores e são colineares se , para algum .
(d) Se e são pontos extremos de um segmento, o ponto médio de é
(e) O módulo do vetor é dado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar cinco afirmações sobre vetores e pontos no espaço. O conteúdo principal aqui é Vetores no Espaço, envolvendo conceitos como origem, extremidade, combinação linear, colinearidade, ponto médio e módulo de vetores. Para resolver, vamos precisar entender cada um desses conceitos e aplicar passo a passo nas afirmações (a) a (e).
Passo 2
Afirmação (a):Os pontos e são origem e extremidade, nessa ordem, do segmento representado pelo vetor .
Vamos entender isso. Um vetor é definido pela diferença entre o ponto final e o ponto inicial. Se é a origem e a extremidade, então:
Isso confirma que é o vetor que vai de a . Logo, a afirmação é Verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b):O vetor [\vec{w} = (-12,6,3)) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Para ver se é uma combinação linear de e , precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na terceira equação: → → → .
Agora, .
Verificando na primeira equação: → Confere.
Então, e satisfazem todas as equações. Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c):Dizemos que os vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) são colineares se u1 = k v1 , para algum k in R .
A colinearidade dos vetores significa que um é um múltiplo escalar do outro em todos os componentes. Ou seja, existe um k tal que:
u = k cdot v Rightarrow u1 = k v1, u2 = k v2, u3 = k v3
A afirmação apenas diz que u1 = k v1 , mas não menciona os outros componentes. Isso não garante que os vetores sejam colineares, já que os demais componentes podem não seguir a mesma proporção. Portanto, a afirmação é Falsa.
Passo 5
Afirmação (d):Se A(x1, x2, x3) e B(y1, y2, y3) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é M(x1+y12, x2+y22, x3+y32) .
Essa é a fórmula clássica do ponto médio no espaço tridimensional. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos A e B , simplesmente tiramos a média das coordenadas correspondentes:
M(x1+y12, x2+y22, x3+y32)
Logo, a afirmação está Verdadeira.
Passo 6
Afirmação (e):O módulo do vetor v = (x, y, z) é dado por |v| = raizx^2 + y^2 + z^2 .
Essa é a definição padrão do módulo (ou norma) de um vetor no espaço tridimensional. Calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes: