Encontre o ponto D que é o vértice oposto a B no paralelogramo A B C D, sendo dados os pontos A(3,-2,4), B(5,1,-3) e C(0,1,2).
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Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto D , que é o vértice oposto ao ponto B em um paralelogramo ABCD . A gente já sabe as posições dos pontos A(3, -2, 4) , B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2) . Vamos usar conceitos de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os vetores que representam os lados opostos são iguais. Isso significa que o vetor AD é igual ao vetor BC .

Passo 3

Vamos calcular o vetor BC . Para isso, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de C :
BC = (Cx - Bx, Cy - By, Cz - Bz) = (0 - 5, 1 - 1, 2 - (-3)) = (-5, 0, 5)

Passo 4

Agora que sabemos que AD = BC = (-5, 0, 5) , podemos usar isso para encontrar as coordenadas de D . O vetor AD também pode ser calculado pela diferença entre D e A :
AD = (Dx - Ax, Dy - Ay, Dz - Az) = (Dx - 3, Dy - (-2), Dz - 4) = (Dx - 3, Dy + 2, Dz - 4)

Passo 5

Igualando os dois vetores AD = BC :
(Dx - 3, Dy + 2, Dz - 4) = (-5, 0, 5)
Isso nos dá um sistema de equações:
Dx - 3 = -5 Dy + 2 = 0 Dz - 4 = 5

Passo 6

Resolvendo cada equação para encontrar Dx , Dy e Dz :
Dx = -5 + 3 = -2 Dy = 0 - 2 = -2 Dz = 5 + 4 = 9

Resposta

O ponto D tem as coordenadas (-2, -2, 9) .

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