Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Sistemas Lineares.
a) O que é um sistema linear? Escreva-o em geral, com equações e na forma matricial, e indique a sua matriz aumentada.
b) Quais são as classificações de um sistema linear e seus possíveis conjuntos soluções?
c) O que é uma matriz escalonada reduzida?
d) Quais são os tipos de operações elementares nas linhas de uma matriz? Em que são úteis?
e) Como é o método de Gauss-Jordan?
f) Como determinamos as variáveis livres e as variáveis dependentes de um sistema linear?
g) Como analisamos o conjunto solução de um sistema linear a partir de sua matriz aumentada escalonada reduzida?
a) O que é um sistema linear? Escreva-o em geral, com equações e na forma matricial, e indique a sua matriz aumentada.
b) Quais são as classificações de um sistema linear e seus possíveis conjuntos soluções?
c) O que é uma matriz escalonada reduzida?
d) Quais são os tipos de operações elementares nas linhas de uma matriz? Em que são úteis?
e) Como é o método de Gauss-Jordan?
f) Como determinamos as variáveis livres e as variáveis dependentes de um sistema linear?
g) Como analisamos o conjunto solução de um sistema linear a partir de sua matriz aumentada escalonada reduzida?
Passo 1
O enunciado pede um panorama sobre sistemas de equações lineares: definição geral (com equações, forma matricial e matriz aumentada), classificações e conjunto-solução, conceito de forma escalonada reduzida, operações elementares de linha, método de Gauss-Jordan, identificação de variáveis livres e dependentes, e análise do conjunto-solução a partir da forma escalonada reduzida da matriz aumentada.
Passo 2
(a) Um sistema linear de
Na forma matricial escreve-se
A matriz aumentada do sistema é
(b) Classificamos um sistema em:
– Consistente, se há pelo menos uma solução;
– Inconsistente, se não há solução.
Se for consistente, pode ter solução única (quando ).
– Consistente, se há pelo menos uma solução;
– Inconsistente, se não há solução.
Se for consistente, pode ter solução única (quando ).
Passo 3
(c) Uma matriz está em forma escalonada reduzida (row-reduced echelon form) se satisfaz todos:
. Qualquer linha com todos os coeficientes zero fica abaixo das demais.
. O primeiro elemento não zero de cada linha (pivot) vale
.
. Cada pivot é o único elemento não zero na sua coluna (zeros acima e abaixo).
. Os pivots descem em colunas estritamente à direita conforme avançamos pelas linhas.
Passo 4
(d) As operações elementares em linhas são:
. Trocar duas linhas.
. Multiplicar uma linha por escalar não nulo.
. Somar a uma linha um múltiplo escalar de outra.
Elas preservam o conjunto de soluções e permitem transformar a matriz aumentada em forma escalonada.
Elas preservam o conjunto de soluções e permitem transformar a matriz aumentada em forma escalonada.
Passo 5
(e) No método de Gauss-Jordan aplicamos operações elementares para levar a matriz aumentada diretamente à forma escalonada reduzida, eliminando coeficientes abaixo e acima de cada pivot, de modo que se possa ler imediatamente as soluções.
Passo 6
(f) Na forma escalonada reduzida, as colunas que contêm pivots correspondem às variáveis dependentes (básicas) e as colunas sem pivots correspondem às variáveis livres. As variáveis livres podem receber parâmetros livres e as dependentes são expressas em função delas.
Passo 7
(g) Para analisar o conjunto-solução a partir da matriz aumentada em forma escalonada reduzida:
– Se existir uma linha do tipo com
, o sistema é inconsistente.
– Caso contrário, é consistente; se não houver variáveis livres, tem solução única; se houver variáveis livres, tem infinitas soluções parametrizadas por elas.
– Se existir uma linha do tipo
– Caso contrário, é consistente; se não houver variáveis livres, tem solução única; se houver variáveis livres, tem infinitas soluções parametrizadas por elas.
Resposta
a) Sistema linear de
matricialmente .
b) Consistente (solução única se , infinitas se ) ou inconsistente ().
c) Forma escalonada reduzida: pivôs iguais a
como únicos não-zeros em suas colunas, descendo à direita, e zero rows abaixo.
d) Operações elementares: trocar linhas; multiplicar linha por escalar não nulo; somar múltiplo de linha a outra. Permitem escalonar preservando soluções.
e) Gauss-Jordan: usar operações elementares para obter a forma escalonada reduzida da matriz aumentada e ler as soluções diretamente.
f) Em RREF, colunas com pivôs
variáveis dependentes; colunas sem pivôs
variáveis livres.
g) Se em RREF aparecer linha
com
, inconsistente. Caso contrário, consistente, com solução única se não há variáveis livres ou infinitas parâmetros pelas livres.