Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Considere o espaço vetorial
das funções contínuas no intervalo fechado
. A função
não pertence ao subespaço vetorial
.
( ) Considere o espaço vetorial
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma verificação lógica:
- Espaço vetorial
, ou seja, o conjunto de todas as funções contínuas em . - Subespaço
. - Função considerada
.
A afirmação a ser avaliada é: "A funçãonão pertence ao subespaço vetorial ". Preciso decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar com cálculos e argumentos teóricos.
Passo 2
Verificar primeiro que
pertence a
.
- Definição usada:
é o conjunto das funções contínuas em . - A função
é polinômio de grau 1, e polinômios são contínuos em toda parte, portanto é contínua em .
Logo.
Passo 3
Recordar a condição para pertencer a
: uma função
pertence a
se, e somente se,
Portanto, para decidir se
basta calcular
e verificar se é zero.
Passo 4
Calcular a integral diretamente usando uma primitiva:
Portanto a integral vale exatamente zero.
Passo 5
Interpretação alternativa (intuitiva) que confirma o cálculo:
é uma função ímpar, isto é,
. Para qualquer função ímpar contínua em um intervalo simétrico
vale
por simetria das áreas positiva e negativa. Aqui
, então a conclusão é a mesma:
.
Passo 6
Conclusão lógica: como
e
, temos
. A afirmação original diz que
NÃO pertence a
; essa afirmação é então falsa.
Resposta
(F)