Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Considere o espaço vetorial \mathbf{V}=\mathbf{C}([-\mathbf{1}, \mathbf{1}]) das funções contínuas no intervalo fechado [-1,1]. A função f(x)=x não pertence ao subespaço vetorial \mathbf{W}=\left\{f \in \mathbf{V} ; \int_{-1}^{1} f(x) d x=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma verificação lógica:
  • Espaço vetorial \mathbf{V}=\mathbf{C}([-1,1]), ou seja, o conjunto de todas as funções contínuas em [-1,1].
  • Subespaço \mathbf{W}=\{f\in\mathbf{V}\\ ;\\ \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0\}.
  • Função considerada f(x)=x.
    A afirmação a ser avaliada é: "A função f(x)=x não pertence ao subespaço vetorial \mathbf{W}". Preciso decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar com cálculos e argumentos teóricos.

Passo 2

Verificar primeiro que f(x)=x pertence a \mathbf{V}.
  • Definição usada: \mathbf{C}([-1,1]) é o conjunto das funções contínuas em [-1,1].
  • A função f(x)=x é polinômio de grau 1, e polinômios são contínuos em toda parte, portanto f é contínua em [-1,1].
    Logo f\in\mathbf{V}.

Passo 3

Recordar a condição para pertencer a \mathbf{W}: uma função g\in\mathbf{V} pertence a \mathbf{W} se, e somente se,
\int_{-1}^{1} g(x)\,dx = 0.
Portanto, para decidir se f\in\mathbf{W} basta calcular \int_{-1}^{1} x\,dx e verificar se é zero.

Passo 4

Calcular a integral diretamente usando uma primitiva:
\int_{-1}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1^{2}}{2} - \tfrac{(-1)^{2}}{2} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0.
Portanto a integral vale exatamente zero.

Passo 5

Interpretação alternativa (intuitiva) que confirma o cálculo: f(x)=x é uma função ímpar, isto é, f(-x)=-f(x). Para qualquer função ímpar contínua em um intervalo simétrico [-a,a] vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0,
por simetria das áreas positiva e negativa. Aqui a=1, então a conclusão é a mesma: \int_{-1}^{1} x\,dx=0.

Passo 6

Conclusão lógica: como f\in\mathbf{V} e \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0, temos f\in\mathbf{W}. A afirmação original diz que f NÃO pertence a \mathbf{W}; essa afirmação é então falsa.

Resposta

(F)

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