Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A equação 5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-4 x+4 y-4, considerada em relação a base canônica do \mathbb{R}^{2}, representa uma hipérbole ou uma de suas formas degeneradas.
Passo 1
O enunciado pede para julgar (V) ou (F) a seguinte afirmativa, justificando com cálculos:
“( ) A equação \,5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-4 x+4 y-4\, (interpreta-se igual a zero) representa uma hipérbole ou uma de suas formas degeneradas.”
Informações dadas (coeficientes da cônica na forma geral \,A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0\,):
A=5
B=6
C=5
D=-4
E=4
F=-4
Passo 2
Regra básica para classificar cônicas (resumo rápido, sem pular etapas): calcular o discriminante \Delta = B^{2}-4AC.
Se \Delta>0 a cônica é hipérbole (ou suas formas degeneradas).
Se \Delta=0 é parábola (ou degenerada).
Se \Delta<0 é elipse (ou círculo) — podendo ser também uma elipse degenerada (ponto ou nada real), dependendo de outros dados.
Como \Delta = -64 < 0, a cônica NÃO é uma hipérbole. Isso já indica que a afirmativa é falsa, salvo se a cônica for uma elipse degenerada (caso ainda a afirmativa permitisse outro tipo). Precisamos então verificar se a cônica é degenerada (por exemplo ponto) ou uma elipse própria (não degenerada).
Passo 3
Critério de degenerescência: formar a matriz simétrica aumentada associada à cônica
M = \begin{pmatrix} A & B/2 & D/2\\[4pt] B/2 & C & E/2\\[4pt] D/2 & E/2 & F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -2\\[4pt] 3 & 5 & 2\\[4pt] -2 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
A cônica é degenerada se e somente se \det M = 0. Vamos calcular \det M passo a passo.
Como \det M = -128 \neq 0, a cônica é não degenerada. Logo não é uma “hipérbole degenerada” nem uma elipse degenerada: é uma elipse própria (não degenerada).]
Passo 4
Para reforçar a classificação, verifiquemos a matriz do termo quadrático \,Q=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} e suas autovalores (isso mostra se a forma quadrática é definida positiva, negativa ou indefinida).
A equação característica de Q é
Ambos positivos, logo a forma quadrática é definida positiva; isso é compatível com uma elipse (quando a constante final permitir solução real).]
Passo 5
Determinar o centro (tradução para eliminar termos lineares) e obter forma canônica para ver explicitamente que é uma elipse. Centro (x_0,y_0) obtém-se resolvendo o sistema gradiente = 0:
que é a equação canônica de uma elipse própria (sem degeneração).]
Passo 6
Conclusão interpretada: a cônica dada é uma elipse própria (não degenerada), portanto NÃO é hipérbole nem hipérbole degenerada. Logo a afirmativa do enunciado é falsa.