Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A aplicação \mathbf{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por \mathbf{T}(x, y, z)=(x+a, y+b, z+c), com b \neq 0, não é linear.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação \mathbf{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
\mathbf{T}(x,y,z)=(x+a,\;y+b,\;z+c),
com a condição adicional b\neq 0. A afirmação a ser julgada é: “a aplicação \mathbf{T} não é linear”. Precisa-se assinalar (V) se essa afirmação for verdadeira e (F) se for falsa, justificando com cálculos e argumentos.

Passo 2

Lembrando a definição (explicação didática): uma transformação \mathbf{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear quando satisfaz duas propriedades para todos os vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
\mathbf{T}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{T}(\mathbf{u})+\mathbf{T}(\mathbf{v}) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{T}(\alpha\mathbf{u})=\alpha\mathbf{T}(\mathbf{u}).
Uma consequência importante (fácil de demonstrar) dessas propriedades é que qualquer transformação linear envia o vetor nulo ao vetor nulo; ou seja,
\mathbf{T}(\mathbf{0})=\mathbf{0}.
Explicando por que isso vale: tomando \alpha=0 na segunda propriedade obtém-se \mathbf{T}(\mathbf{0})=\mathbf{T}(0\cdot\mathbf{u})=0\cdot\mathbf{T}(\mathbf{u})=\mathbf{0}. Então, verificar se \mathbf{T}(\mathbf{0})=\mathbf{0} é um teste rápido e frequentemente suficiente para detectar não linearidade.

Passo 3

Calculemos \mathbf{T} aplicado ao vetor nulo. O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é \mathbf{0}=(0,0,0). Aplicando a definição de \mathbf{T}:
\mathbf{T}(\mathbf{0})=\mathbf{T}(0,0,0)=(0+a,\;0+b,\;0+c)=(a,\;b,\;c).
Como dado no enunciado temos b\neq 0, segue que o segundo componente de \mathbf{T}(\mathbf{0}) é b\neq 0. Portanto
\mathbf{T}(\mathbf{0})=(a,b,c)\neq(0,0,0)=\mathbf{0}.

Passo 4

Conclui-se pelo argumento do passo anterior que \mathbf{T}(\mathbf{0})\neq\mathbf{0}, o que contradiz a propriedade necessária para linearidade. Logo \mathbf{T} não é linear. (Observação adicional: se a=b=c=0 a transformação seria linear — seria a identidade — mas a hipótese b\neq 0 impede isso.)

Resposta

(V)

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