Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A aplicação
definida por
, com
, não é linear.
( ) A aplicação
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
com a condição adicional
. A afirmação a ser julgada é: “a aplicação
não é linear”. Precisa-se assinalar (V) se essa afirmação for verdadeira e (F) se for falsa, justificando com cálculos e argumentos.
Passo 2
Lembrando a definição (explicação didática): uma transformação
é linear quando satisfaz duas propriedades para todos os vetores
e todo escalar
:
Uma consequência importante (fácil de demonstrar) dessas propriedades é que qualquer transformação linear envia o vetor nulo ao vetor nulo; ou seja,
Explicando por que isso vale: tomando
na segunda propriedade obtém-se
. Então, verificar se
é um teste rápido e frequentemente suficiente para detectar não linearidade.
Passo 3
Calculemos
aplicado ao vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Aplicando a definição de
:
Como dado no enunciado temos
, segue que o segundo componente de
é
. Portanto
Passo 4
Conclui-se pelo argumento do passo anterior que
, o que contradiz a propriedade necessária para linearidade. Logo
não é linear. (Observação adicional: se
a transformação seria linear — seria a identidade — mas a hipótese
impede isso.)
Resposta
(V)