Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Um dos autovalores da matriz
, que representa a forma quadrática relacionada a equação quadrática
, é
.
( ) Um dos autovalores da matriz
Passo 1
O enunciado pede que eu marque (V) se a afirmativa for verdadeira e (F) se for falsa, justificando por cálculos e teoria. A afirmativa é:
“( ) Um dos autovalores da matriz
, que representa a forma quadrática relacionada à equação quadrática
, é
.”
Informações dadas:
- A expressão inteira é
. - Queremos os autovalores da matriz
que “representa a forma quadrática relacionada” a essa expressão. - Não há figura nem outra informação oculta.
Passo 2
O que significa “matriz que representa a forma quadrática”? Vou explicar passo a passo, devagar.
- Uma forma quadrática em duas variáveis é algo da forma
e essa forma pode ser escrita em notação matricial como
onde
e
- Observe que o termo misto
aparece com fator na forma padrão. Ou seja, se o polinômio tem , então e . - Importante: os termos lineares (como
, ) e o termo constante ( ) não alteram a matriz da parte quadrática; eles pertencem a outra parte (termos afins) da equação, mas a matriz é determinada apenas pelos coeficientes dos termos quadráticos.]
Passo 3
Identifico os coeficientes quadráticos do polinômio dado:
- Coeficiente de
é . Logo . - Coeficiente de
é . Como na forma matricial o termo misto é , temos então . - Coeficiente de
é . Logo .
Portanto a matriz que representa a forma quadrática é
Passo 4
Vou lembrar rápido e ensinar como obter autovalores de uma matriz
.
- Os autovalores
são as soluções da equação característica
onde
é a matriz identidade
.
- Para
a determinante é
- No caso simétrico
isso simplifica, e para matrizes da forma há uma observação útil: vetores e são autovetores e os autovalores são e . Vou fazer o cálculo direto pelo determinante para ficar bem claro.]
Passo 5
Calculo o polinômio característico de
:
Essa determinante é
Expando:
Logo os autovalores são as raízes da equação quadrática
Passo 6
Resolvo a equação quadrática. Posso usar fórmula de Bhaskara ou fatorar se for fácil.
- Calculando o discriminante:
- As raízes são
Portanto
(Observação rápida: isso bate com a observação simples de que para
os autovalores são
e
: aqui
,
dão
e
.)
Passo 7
Concluindo pelos cálculos: os autovalores da matriz
são
e
. O valor
não aparece na lista de autovalores calculados, portanto a afirmativa do enunciado é falsa.
Resposta
(F)