Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Um dos autovalores da matriz \mathbf{M}, que representa a forma quadrática relacionada a equação quadrática 5 x^{2}+6 x y+ 5 y^{2}-4 x+4 y-4, é \lambda=-2.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque (V) se a afirmativa for verdadeira e (F) se for falsa, justificando por cálculos e teoria. A afirmativa é:
“( ) Um dos autovalores da matriz \mathbf{M}, que representa a forma quadrática relacionada à equação quadrática 5 x^{2}+6 x y+ 5 y^{2}-4 x+4 y-4, é \lambda=-2.”
Informações dadas:
  • A expressão inteira é 5 x^{2}+6 x y+ 5 y^{2}-4 x+4 y-4.
  • Queremos os autovalores da matriz \mathbf{M} que “representa a forma quadrática relacionada” a essa expressão.
  • Não há figura nem outra informação oculta.

Passo 2

O que significa “matriz que representa a forma quadrática”? Vou explicar passo a passo, devagar.
  • Uma forma quadrática em duas variáveis é algo da forma
q(x,y)=a x^{2}+2b x y + c y^{2},
e essa forma pode ser escrita em notação matricial como
q(\mathbf{v})=\mathbf{v}^\top M \mathbf{v},
onde \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} e
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
  • Observe que o termo misto x y aparece com fator 2b na forma padrão. Ou seja, se o polinômio tem 6xy, então 2b=6 e b=3.
  • Importante: os termos lineares (como -4x, +4y) e o termo constante ( -4) não alteram a matriz M da parte quadrática; eles pertencem a outra parte (termos afins) da equação, mas a matriz M é determinada apenas pelos coeficientes dos termos quadráticos.]

Passo 3

Identifico os coeficientes quadráticos do polinômio dado:
  • Coeficiente de x^2 é 5. Logo a=5.
  • Coeficiente de xy é 6. Como na forma matricial o termo misto é 2b\,xy, temos 2b=6 então b=3.
  • Coeficiente de y^2 é 5. Logo c=5.
Portanto a matriz que representa a forma quadrática é
M=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Vou lembrar rápido e ensinar como obter autovalores de uma matriz 2\times2.
  • Os autovalores \lambda são as soluções da equação característica
\det(M-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2.
  • Para M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\[4pt] m_{21} & m_{22}\end{pmatrix} a determinante é
\det\big(M-\lambda I\big)=(m_{11}-\lambda)(m_{22}-\lambda)-m_{12}m_{21}.
  • No caso simétrico m_{12}=m_{21} isso simplifica, e para matrizes da forma \begin{pmatrix}a & b\\\ b & a\end{pmatrix} há uma observação útil: vetores \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} são autovetores e os autovalores são a+b e a-b. Vou fazer o cálculo direto pelo determinante para ficar bem claro.]

Passo 5

Calculo o polinômio característico de M:
\det\!\left(\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right) =\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\[4pt]3 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
Essa determinante é
(5-\lambda)^2-3\cdot3=(5-\lambda)^2-9.
Expando:
(5-\lambda)^2-9=25-10\lambda+\lambda^2-9=\lambda^2-10\lambda+16.
Logo os autovalores são as raízes da equação quadrática
\lambda^2-10\lambda+16=0.]

Passo 6

Resolvo a equação quadrática. Posso usar fórmula de Bhaskara ou fatorar se for fácil.
  • Calculando o discriminante:
\Delta = (-10)^2-4\cdot1\cdot16 =100-64=36.
  • As raízes são
\lambda=\frac{10\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{10\pm6}{2}.
Portanto
\lambda_1=\frac{10+6}{2}=8,\qquad \lambda_2=\frac{10-6}{2}=2.
(Observação rápida: isso bate com a observação simples de que para \begin{pmatrix}a&b\\\ b&a\end{pmatrix} os autovalores são a+b e a-b: aqui a=5, b=3 dão 8 e 2.)

Passo 7

Concluindo pelos cálculos: os autovalores da matriz \mathbf{M} são \lambda=8 e \lambda=2. O valor \lambda=-2 não aparece na lista de autovalores calculados, portanto a afirmativa do enunciado é falsa.

Resposta

(F)

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