Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O operador linear \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por \mathbf{T}(x, y)=(-x, y), que representa uma reflexão em torno do eixo y, é autoadjunto e ortogonal simultaneamente.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale (V) se a afirmação for verdadeira e (F) se for falsa, justificando por cálculos e teoria coerente. A afirmação é: \mathbf{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por \mathbf{T}(x,y)=(-x,y) (reflexão em torno do eixo y) é autoadjunto e ortogonal simultaneamente.\n
Informações dadas:
  • A regra de transformação é \mathbf{T}(x,y)=(-x,y).
  • O espaço de trabalho é \mathbb{R}^2 com o produto interno padrão (produto escalar usual).

Passo 2

Vou obter a matriz de \mathbf{T} na base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}. Calculo a imagem das bases:
\mathbf{T}(e_1)=\mathbf{T}(1,0)=(-1,0)=-e_1, \qquad \mathbf{T}(e_2)=\mathbf{T}(0,1)=(0,1)=e_2.
Logo, a matriz de \mathbf{T} na base canônica é
A=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e verificação de autoadjunto (didático): num espaço euclidiano real, o adjunto \mathbf{T}^* é o operador tal que, para todos v,w\in\mathbb{R}^2,
\langle \mathbf{T}v, w\rangle = \langle v, \mathbf{T}^* w\rangle,
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão. Para operadores representados por matrizes reais, o adjunto corresponde à transposta da matriz: a matriz de \mathbf{T}^* é A^{T}. Se A=A^{T} então \mathbf{T}=\mathbf{T}^* (autoadjunto).\n
Verificação explícita com vetores arbitrários v=(x_1,x_2) e w=(y_1,y_2):
\mathbf{T}v = (-x_1,x_2).
Calculo do lado esquerdo:
\langle \mathbf{T}v, w\rangle = (-x_1)y_1 + x_2 y_2 = -x_1 y_1 + x_2 y_2.
Calculo do lado direito usando \mathbf{T}w = (-y_1,y_2):
\langle v, \mathbf{T}w\rangle = x_1(-y_1) + x_2 y_2 = -x_1 y_1 + x_2 y_2.
Os dois são iguais para quaisquer v,w, portanto \mathbf{T}^*=\mathbf{T}. Alternativamente, observe que
A^{T}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=A,
logo A é simétrica e \mathbf{T} é autoadjunto.]

Passo 4

Definição e verificação de ortogonal (didático): um operador linear é ortogonal se preserva o produto interno, isto é, para todos v,w,
\langle \mathbf{T}v,\mathbf{T}w\rangle = \langle v,w\rangle.
Na linguagem de matrizes isso equivale a A^{T}A=I. Vou verificar isso diretamente.\n
Calculo de A^{T}A. Como A=A^{T}, tem-se A^{T}A=A^2. Faço a multiplicação:
A^2 = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)(-1)+0\cdot0 & (-1)\cdot0+0\cdot1 \\[4pt] 0\cdot(-1)+1\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Assim A^{T}A=I e \mathbf{T} é ortogonal.\n
Também se pode ver preservação de norma: para v=(x_1,x_2),
\|\mathbf{T}v\|^2 = (-x_1)^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 = \|v\|^2,
o que é equivalente à definição de ortogonalidade.]

Passo 5

Interpretação e observações úteis para prova: uma matriz real que é simultaneamente simétrica ( A=A^{T}) e ortogonal ( A^{T}A=I) satisfaz A^2=I, ou seja, é uma involução com autovalores +1 ou -1. No caso presente, os autovalores de A são -1 (direção e_1) e +1 (direção e_2), característica típica de uma reflexão em torno do eixo y. O determinante é
\det A = (-1)\cdot 1 = -1,
o que confirma que \mathbf{T} é uma reflexão (ortogonal com \det=-1), não uma rotação propriamente dita; mas isso não impede que seja ortogonal. Essas observações reforçam a conclusão anterior.

Passo 6

Conclusão direta a partir dos cálculos anteriores: \mathbf{T} é autoadjunto ( \mathbf{T}=\mathbf{T}^*) e também é ortogonal ( A^{T}A=I). Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(V)

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