Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O operador linear
definido por
, que representa uma reflexão em torno do eixo
, é autoadjunto e ortogonal simultaneamente.
( ) O operador linear
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale (V) se a afirmação for verdadeira e (F) se for falsa, justificando por cálculos e teoria coerente. A afirmação é:
definida por
(reflexão em torno do eixo
) é autoadjunto e ortogonal simultaneamente.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A regra de transformação é
. - O espaço de trabalho é
com o produto interno padrão (produto escalar usual).
Passo 2
Vou obter a matriz de
na base canônica
. Calculo a imagem das bases:
Logo, a matriz de
na base canônica é
Passo 3
Definição e verificação de autoadjunto (didático): num espaço euclidiano real, o adjunto
é o operador tal que, para todos
,
onde
é o produto interno padrão. Para operadores representados por matrizes reais, o adjunto corresponde à transposta da matriz: a matriz de
é
. Se
então
(autoadjunto).\n
Verificação explícita com vetores arbitrários e
:
Verificação explícita com vetores arbitrários
Calculo do lado esquerdo:
Calculo do lado direito usando
:
Os dois são iguais para quaisquer
, portanto
. Alternativamente, observe que
logo
é simétrica e
é autoadjunto.]
Passo 4
Definição e verificação de ortogonal (didático): um operador linear é ortogonal se preserva o produto interno, isto é, para todos
,
Na linguagem de matrizes isso equivale a
. Vou verificar isso diretamente.\n
Calculo de . Como
, tem-se
. Faço a multiplicação:
Calculo de
Assim
e
é ortogonal.\n
Também se pode ver preservação de norma: para ,
Também se pode ver preservação de norma: para
o que é equivalente à definição de ortogonalidade.]
Passo 5
Interpretação e observações úteis para prova: uma matriz real que é simultaneamente simétrica (
) e ortogonal (
) satisfaz
, ou seja, é uma involução com autovalores
ou
. No caso presente, os autovalores de
são
(direção
) e
(direção
), característica típica de uma reflexão em torno do eixo
. O determinante é
o que confirma que
é uma reflexão (ortogonal com
), não uma rotação propriamente dita; mas isso não impede que seja ortogonal. Essas observações reforçam a conclusão anterior.
Passo 6
Conclusão direta a partir dos cálculos anteriores:
é autoadjunto (
) e também é ortogonal (
). Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(V)