Assinale a alternativa que apresenta um operador linear que NÃO é ortogonal:
Lembre-se de que dado u=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right), temos que \|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}}
  • II
    (A) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por: T(x, y)=\left(\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} y, \frac{3}{5} x-\frac{4}{5} y\right)
    (B) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por: T(u)=\left(\frac{1}{2} u_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} u_{2}, \frac{1}{2} u_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} u_{2}\right)
    (C) T : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por: T(u)=\left(u_{1}, u_{2} \operatorname{sen} \theta+u_{3} \cos \theta, u_{2} \cos \theta-u_{3} \operatorname{sen} \theta\right)
    (D) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por: T(x, y, z)=(-z, x,-y)
E T : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por: T(u)=\left(u_{1}+u_{2}, u_{1}-u_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos operadores lineares listados não é ortogonal, ou seja, qual não preserva norma em \mathbb{R}^n. Em teoria, um operador linear T com matriz M é ortogonal se e somente se
M^{T}M = I,
ou equivalentemente \|T(u)\| = \|u\| para todo u.

Passo 2

Analisamos a alternativa (A). A matriz associada é
M_A = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & \frac{3}{5}\\[6pt] \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.
Cada coluna tem norma
\sqrt{\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{16}{25}+\tfrac{9}{25}}=1
e o produto interno entre colunas é
\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot\Bigl(-\frac{4}{5}\Bigr) =\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=0.
Logo M_A^TM_A=I e (A) é ortogonal.]

Passo 3

Analisamos a alternativa (B). A matriz associada é
M_B = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
A norma da primeira coluna é
\sqrt{\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac14+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac12}\neq1.
Portanto M_B^TM_B\neq I e (B) não preserva norma, ou seja, não é ortogonal.]

Passo 4

Analisamos a alternativa (C). A ação em \mathbb{R}^3 é
T(u)=\bigl(u_{1},\,u_{2}\sin\theta+u_{3}\cos\theta,\;u_{2}\cos\theta-u_{3}\sin\theta\bigr),
que corresponde à matriz
M_C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\\\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \end{pmatrix}.
Este é um bloco de rotação no plano (u_2,u_3) unido a identidade no eixo u_1, logo é ortogonal.

Passo 5

Analisamos a alternativa (D). A matriz associada a
T(x,y,z)=(-z,\;x,\;-y)
é
M_D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Cada coluna de M_D tem norma 1 e colunas mutuamente ortogonais, então M_D^TM_D=I. Assim (D) é ortogonal.

Passo 6

A alternativa (E) apresenta T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(u)=(u_{1}+u_{2},\,u_{1}-u_{2}),
o que nem sequer mapeia em \mathbb{R}^3. Mesmo interpretando como \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz
\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}
não tem colunas de norma 1. Logo também não é ortogonal, mas por inconsistência dimensional descartamos (E) como resposta válida.

Resposta

(B)

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