Assinale a alternativa que apresenta um operador linear que NÃO é ortogonal:
Lembre-se de que dado u=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right), temos que \|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}}
E T : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por: T(u)=\left(u_{1}+u_{2}, u_{1}-u_{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual dos operadores lineares listados não é ortogonal, ou seja, qual não preserva norma em \mathbb{R}^n. Em teoria, um operador linear T com matriz M é ortogonal se e somente se
M^{T}M = I,
ou equivalentemente \|T(u)\| = \|u\| para todo u.
Passo 2
Analisamos a alternativa (A). A matriz associada é
Cada coluna de M_D tem norma 1 e colunas mutuamente ortogonais, então M_D^TM_D=I. Assim (D) é ortogonal.
Passo 6
A alternativa (E) apresenta T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(u)=(u_{1}+u_{2},\,u_{1}-u_{2}),
o que nem sequer mapeia em \mathbb{R}^3. Mesmo interpretando como \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}
não tem colunas de norma 1. Logo também não é ortogonal, mas por inconsistência dimensional descartamos (E) como resposta válida.