Considere a transformação linear A=\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por
\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) \rightarrow A(u)=u_{1}+u_{2}+u_{3}
A imagem e o núcleo dessa transformação linear são, respectivamente:
(A) \operatorname{lm}(A)=\mathbb{R} e N(A)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{1}-u_{2}\right), u_{1}, u_{2} \in \mathbb{R}
(B) \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R} e N(A)=\left\{\left(u_{1}, u_{2},-u_{1}-u_{2}\right), u_{1}, u_{2} \in \mathbb{R}\right\}
(C) \operatorname{Im}(A)=\left\{\mathbb{R}^{+}\right\} e N(A)=\left(u_{1}, u_{2},-u_{1}-u_{2}\right), u_{1}, u_{2} \in \mathbb{R}
(D) \operatorname{Im}(A)=\left\{\mathbb{R}^{+}\right\} e N(A)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{1}+u_{2}\right), u_{1}, u_{2} \in \mathbb{R}
(E) \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R} e N(A)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{1}+u_{2}\right), u_{1}, u_{2} \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
A\colon \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R},\quad A(u_{1},u_{2},u_{3})=u_{1}+u_{2}+u_{3}
e pede a imagem \operatorname{Im}(A) e o núcleo N(A). Vamos usar os conceitos de transformações lineares: a imagem é o conjunto dos valores atingidos por A e o núcleo é o conjunto dos vetores que vão para zero.

Passo 2

Para achar \operatorname{Im}(A), note que dado qualquer y\in\mathbb{R} podemos escolher, por exemplo,
(u_{1},u_{2},u_{3})=(y,0,0),
de modo que
A(y,0,0)=y+0+0=y.
Logo, A é sobrejetora em \mathbb{R} e
\operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para achar N(A), resolvemos a equação
A(u_{1},u_{2},u_{3})=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u_{1}+u_{2}+u_{3}=0.
Isolando u_{3}, temos
u_{3}=-u_{1}-u_{2}.
Assim
N(A)=\{(u_{1},u_{2},-u_{1}-u_{2})\mid u_{1},u_{2}\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Comparando com as opções dadas, vemos que a correta é aquela que indica \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R} e N(A)=\{(u_{1},u_{2},-u_{1}-u_{2})\},
ou seja, a opção (B).

Resposta

(B)

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