Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por: T(u)=\left(u_{1}, u_{1}-u_{2}+u_{3}, u_{2}+u_{3}\right)
Esse operador é inversível?
Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \quad\text{definido por}\quad T(u)=\bigl(u_{1},\,u_{1}-u_{2}+u_{3},\,u_{2}+u_{3}\bigr).
Queremos saber se T é inversível, ou seja, se existe T^{-1}. Para isso usaremos a matriz de T na base canônica e o critério de determinante não nulo.

Passo 2

Vamos encontrar a matriz A de T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
Calculamos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,\,1,\,0),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(0,\,-1,\,1),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,\,1,\,1).
Logo as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3), ou seja,
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para saber se A (e portanto T) é invertível, calculamos seu determinante.
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix} =1\bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot1\bigr) =-2\neq0.]

Passo 4

Como \det(A)\neq0, o operador linear T é invertível (critério de matriz invertível). Alternativamente, isso equivale a \ker T=\{0\}.

Resposta

Sim. T é inversível porque a matriz associada \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 1&-1&1\\\ 0&1&1\end{pmatrix}
tem \det(A)=-2\neq0.

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