Questão 9
Considere o conjunto
em que
e
é um polinômio de grau menor ou igual que 4. O conjunto
em que
e
é um polinômio de grau 3 é um subespaço de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado define
– como o espaço de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 4;
– como o subconjunto de
formado por todos os polinômios de grau exatamente igual a 3.
Para saber se é subespaço de
, vamos usar a definição de subespaço vetorial: verificar se
–
–
Para saber se
- o vetor zero (polinômio zero) pertence a
; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Checamos se o polinômio zero pertence a
. O polinômio zero é
cujo grau é indefinido (ou
), mas não é 3. Logo
Como um subespaço deve conter o vetor zero,
já falha nessa condição.
Passo 3
Para reforçar, verificamos a clausura sob adição. Tomemos
Então
que, como vimos, não pertence a
. Assim,
não é fechado sob soma.
Resposta
Não.
não é subespaço de
porque não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.