Questão 9

Considere o conjunto E=P(x) em que x \in \mathbb{R} e P(x) é um polinômio de grau menor ou igual que 4. O conjunto F=Q(x) em que x \in \mathbb{R} e Q(x) é um polinômio de grau 3 é um subespaço de E ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
E como o espaço de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 4;
F como o subconjunto de E formado por todos os polinômios de grau exatamente igual a 3.
Para saber se F é subespaço de E, vamos usar a definição de subespaço vetorial: verificar se
  1. o vetor zero (polinômio zero) pertence a F;
  2. F é fechado sob soma;
  3. F é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Checamos se o polinômio zero pertence a F. O polinômio zero é
0(x)=0,
cujo grau é indefinido (ou -\infty), mas não é 3. Logo
0(x)\notin F.
Como um subespaço deve conter o vetor zero, F já falha nessa condição.

Passo 3

Para reforçar, verificamos a clausura sob adição. Tomemos
P(x)=x^3\in F \quad\text{e}\quad Q(x)=-x^3\in F.
Então
P(x)+Q(x)=x^3 + (-x^3)=0(x),
que, como vimos, não pertence a F. Assim, F não é fechado sob soma.

Resposta

Não. F não é subespaço de E porque não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.

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