Questão 4

O polinômio característico do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(2 x+2 y, 3 x+7 y-15 z, x+2 y-4 z) é igual a
(A) \lambda^{3}-5 \lambda^{2}+7 \lambda-3
(B) -\lambda^{3}+5 \lambda^{2}-3 \lambda+7
(C) -\lambda^{3}+5 \lambda^{2}+3 \lambda-7
(D) -\lambda^{3}+5 \lambda^{2}-2 \lambda-2
(E) -\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+5 \lambda-2
Legenda
Respond

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (2x+2y,\;3x+7y-15z,\;x+2y-4z).
Pedem o polinômio característico, isto é \det(A-\lambda I), onde A é a matriz de T na base padrão.

Passo 2

A matriz associada a T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\[6pt] 3 & 7 & -15 \\[6pt] 1 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
Assim,
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 0 \\[3pt] 3 & 7-\lambda & -15 \\[3pt] 1 & 2 & -4-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 3

Expandimos \det(A-\lambda I) pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}7-\lambda & -15 \\[3pt] 2 & -4-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}3 & -15 \\[3pt] 1 & -4-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}7-\lambda & -15 \\[3pt] 2 & -4-\lambda\end{pmatrix} = (7-\lambda)(-4-\lambda) - (-15)\cdot2 = \lambda^2 -3\lambda +2.
Multiplicando por (2-\lambda):
(2-\lambda)(\lambda^2 -3\lambda +2) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -8\lambda +4.]

Passo 5

Calculamos o segundo menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -15 \\[3pt] 1 & -4-\lambda\end{pmatrix} = 3(-4-\lambda) -(-15)\cdot1 = -12 -3\lambda +15 = 3 -3\lambda.
Multiplicando por -2:
-2\,(3 -3\lambda) = -6 +6\lambda.]

Passo 6

Somando as duas parcelas:
\det(A-\lambda I) = \bigl(-\lambda^3 +5\lambda^2 -8\lambda +4\bigr) +\bigl(-6 +6\lambda\bigr) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -2\lambda -2.
Isso coincide com a alternativa (D).

Resposta

(D)

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