Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
  1. A. Qual a área da região limitada pelo limaçon r=3-2 sin (theta) ?
    (a) 9 pi
    (b) 9 pi-2
    (c) 11 pi
    (d) 11 pi-2
    (e) 9 pi+2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo limaçon r = 3 − 2 sin(θ). O conteúdo usado aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula que envolve a integral de r².

Passo 2

A fórmula para a área em coordenadas polares é
A = 12 integral0^2pi r^2 ,dtheta
Nesse caso, r = 3 − 2 sin(θ).

Passo 3

Primeiro vamos calcular r²:
r^2 = (3 - 2,sintheta)^2 = 9 - 12,sintheta + 4,sin^2theta

Passo 4

Agora integramos r² de 0 a 2π:
integral0^2pi r^2 ,dtheta = integral0^2pi (9 - 12sintheta + 4sin^2theta) ,dtheta
Dividindo:
  • integral0^2pi 9,dtheta = 9 cdot 2pi = 18pi
  • integral0^2pi -12sintheta ,dtheta = 0
  • integral0^2pi 4sin^2theta ,dtheta = 4 cdot pi = 4pi
    Somando, obtemos 18pi + 0 + 4pi = 22pi.

Passo 5

Finalmente a área é
A = 12 times 22pi = 11pi
Isso coincide com a alternativa (c).

Resposta

11\pi

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