Se V in o potencial do campo de vetores F definido por F(x, y)=(y-2) i+x j, podernos afirmar que:
a) V(x, y)=(y^22-2 y) i+x^22 j;
b) V(x, y)=y-2+x ;
c) V(x, y)=i+j;
d) V(x, y)=x y-2 x+1;
e) V(x, y)=12(y-2)^2+12 x^2.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de vetores definido por F(x, y) = (y - 2)i + xj e queremos encontrar o potencial V(x, y) desse campo. O conteúdo envolvido aqui é o de Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potenciais. Para resolver isso, precisamos saber que um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar V tal que F = nabla V, onde nabla V representa o gradiente de V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de V é dado por:
nabla V = ( partial Vpartial x ) i + ( partial Vpartial y ) j
Então, se F = nabla V, isso significa que:
partial Vpartial x = y - 2 e partial Vpartial y = x

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a x para encontrar V(x, y):
partial Vpartial x = y - 2 implies V(x, y) = integral (y - 2) , dx = (y - 2)x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, pois a constante de integração pode depender de y.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação partial Vpartial y = x e derivar nossa expressão de V(x, y) em relação a y:
partial Vpartial y = x + g'(y) = x
Isso implica que g'(y) = 0, ou seja, g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Passo 5

Então, a função potencial V(x, y) é:
V(x, y) = (y - 2)x + C
Podemos escolher C = 0 para simplificar, então:
V(x, y) = x(y - 2)

Passo 6

Agora, vamos verificar qual das alternativas corresponde a essa expressão. Observando as opções, a alternativa e) diz:
V(x, y) = 12(y - 2)^2 + 12x^2
Para confirmar se está correta, vamos derivar essa expressão:
Derivando em relação a x:
partial Vpartial x = x
Derivando em relação a y:
partial Vpartial y = (y - 2)
Isso corresponde ao nosso campo vetorial F(x, y) = (y - 2)i + xj.

Resposta

A alternativa e) está correta:
V(x, y) = 12(y - 2)^2 + 12x^2

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