Se
o potencial do campo de vetores
definido por
, podernos afirmar que:
a)
;
b)
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo de vetores definido por
e queremos encontrar o potencial
desse campo. O conteúdo envolvido aqui é o de Campos Vetoriais Conservativos e Funções Potenciais. Para resolver isso, precisamos saber que um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
representa o gradiente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de
é dado por:
Então, se
, isso significa que:
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
e derivar nossa expressão de
em relação a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Então, a função potencial
é:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora, vamos verificar qual das alternativas corresponde a essa expressão. Observando as opções, a alternativa e) diz:
Para confirmar se está correta, vamos derivar essa expressão:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Isso corresponde ao nosso campo vetorial
.
Resposta
A alternativa e) está correta: