1. sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

O enunciado pede para somar a série
sumk=1^infty (-1)^k+12^kk^3,3^k+2
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de séries do tipo
sumk=1^inftyz^kk^s, que definem a função polilogaritmo
Lis(z). Vamos usar essa definição para expressar a soma.

Passo 2

Primeiro, extraímos os fatores constantes que não dependem de k:
13^k+2 =13^2;13^k =19(13)^k
Assim a série vira
sumk=1^infty (-1)^k+12^kk^3,3^k+2 =19sumk=1^infty(-1)^k+1k^3l(23r)^k

Passo 3

Note que
sumk=1^infty(-1)^k+1x^kk^3 =-sumk=1^inftyl(-xr)^kk^3 =-,Li3l(-xr),
pois por definição Li3(z)=sumk=1^inftyz^k/k^3. Aqui x=2/3, logo
sumk=1^infty(-1)^k+1l(tfrac23r)^kk^3 =-,Li3!l(-tfrac23r)

Passo 4

Substituindo de volta em S, obtemos
S=sumk=1^infty (-1)^k+12^kk^3,3^k+2 =19l(-,Li3!l(-tfrac23r)r) =-19,Li3!l(-tfrac23r)

Resposta

-19,Li3!l(-tfrac23r)

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