Considere a curva definida por
l x(t)=2 cos (t)-cos (2 t), y(t)=2 sin (t)-sin (2 t), 0 <= t <= pi
Encontre:
(a) O comprimento da curva.
(b) A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x.
Nota: square

Passo 1

A questão dá uma curva paramétrica
x(t)=2cos t - cos(2t), y(t)=2sin t - sin(2t), 0<= t<=pi,
e pede (a) o comprimento dessa curva e (b) a área de superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. Vamos usar a fórmula de comprimento para curvas paramétricas e a fórmula de área de revolução em torno de x.

Passo 2

Para achar o comprimento, primeiro calculamos as derivadas:
dxdt=-2sin t +2sin(2t),
dydt=2cos t -2cos(2t)
Em seguida usamos
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt
e simplificamos a soma dos quadrados com identidade trigonométrica.

Passo 3

Ao expandir e agrupar termos, encontra-se
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2=8l(1-cos tr)
Logo
ds=raiz8,(1-cos t),dt=2raiz2,raiz1-cos t,dt

Passo 4

Para o comprimento usamos
L=integral0^pi ds=2raiz2integral0^piraiz1-cos t,dt
Como 1-cos t=2sin^2(t/2), temos raiz1-cos t=raiz2sin(t/2). Então
L=2raiz2integral0^piraiz2sinl(tfrac t2r)dt=4integral0^pisinl(tfrac t2r)dt=8

Passo 5

Para a área de revolução em torno de x, usamos
S=2piintegral0^pi y(t),ds=2piintegral0^pi y(t)dsdt,dt
Sabendo que y(t)=2sin t-sin2t=2sin t(1-cos t) e ds/dt=2raiz2raiz1-cos t, o integrando fica
ydsdt=4raiz2,sin t,(1-cos t)^3/2
Fazendo a substituição u=1-cos t, du=sin t,dt, com limites de 0 a 2, obtemos
integral0^pisin t,(1-cos t)^3/2dt=integral0^2u^3/2du=25,2^5/2=8raiz25

Passo 6

Substituindo em S
S=2picdot4raiz2cdot8raiz25=1285pi

Resposta

O comprimento da curva é 8 e a área de superfície gerada pela rotação em torno do eixo x é tfrac1285pi.

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