Considere a curva definida por
Encontre:
(a) O comprimento da curva.
(b) A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
.
Nota:
(a) O comprimento da curva.
(b) A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
Passo 1
A questão dá uma curva paramétrica
e pede (a) o comprimento dessa curva e (b) a área de superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo
. Vamos usar a fórmula de comprimento para curvas paramétricas e a fórmula de área de revolução em torno de
.
Passo 2
Para achar o comprimento, primeiro calculamos as derivadas:
Em seguida usamos
e simplificamos a soma dos quadrados com identidade trigonométrica.
Passo 3
Ao expandir e agrupar termos, encontra-se
Logo
Passo 4
Para o comprimento usamos
Como
, temos
. Então
Passo 5
Para a área de revolução em torno de
, usamos
Sabendo que
e
, o integrando fica
Fazendo a substituição
,
, com limites de 0 a 2, obtemos
Passo 6
Substituindo em
dá
Resposta
O comprimento da curva é 8 e a área de superfície gerada pela rotação em torno do eixo x é
.