Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
1.
Qual a área da região limitada pelo limaçon r=6+2 sin (theta) ?

Passo 1

O enunciado pede a área da região englobada pelo limaçon dado em coordenadas polares por
r = 6 + 2sin(theta)
O conteúdo é “área em coordenadas polares”. Para resolver, vamos usar a fórmula que dá a área de uma curva polar r=f(theta) para theta variando de 0 a 2pi:
A = tfrac12 integral0^2pi l(f(theta)r)^2 ,dtheta

Passo 2

Aplicamos diretamente a fórmula com f(theta)=6+2sin(theta):
A = tfrac12 integral0^2pi l(6 + 2sin(theta)r)^2 ,dtheta
Vamos expandir o quadrado dentro do integrando.

Passo 3

Expandindo, temos
l(6 + 2sin(theta)r)^2 = 36 + 24sin(theta) + 4sin^2(theta)
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A = tfrac12 integral0^2pi l(36 + 24sin(theta) + 4sin^2(theta)r),dtheta

Passo 4

Integramos termo a termo, sabendo que
integral0^2pi sin(theta),dtheta = 0 e integral0^2pi sin^2(theta),dtheta = pi
Então
integral0^2pi 36,dtheta = 36cdot 2pi = 72pi, integral0^2pi 24sin(theta),dtheta = 0, integral0^2pi 4sin^2(theta),dtheta = 4pi
Somando:
integral0^2pi l(36 + 24sin(theta) + 4sin^2(theta)r),dtheta = 72pi + 0 + 4pi = 76pi

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por tfrac12:
A = tfrac12 times 76pi = 38pi

Resposta

A área da região limitada pelo limaçon r=6+2sin(theta) é
38pi

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