Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos permita simplificar a equação e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos na equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Então, vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 7
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 8
Observamos que a integral no lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então:
Notamos que
.
Passo 9
Substituindo, temos:
Onde
é outra constante de integração.
Portanto:
Passo 10
Substituindo de volta na equação anterior:
Onde
engloba todas as constantes de integração.
Passo 11
Isolando
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: