Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d yd x+2 x y=e^3 x(3+2 x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
d yd x + 2 x y = e^3 x(3 + 2 x)
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos permita simplificar a equação e encontrar a solução para y .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos na equação diferencial. A equação está na forma padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde:
  • P(x) = 2x
  • Q(x) = e^3x(3 + 2x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, vamos calcular:
mu(x) = e^integral 2x , dx = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
e^x^2 dydx + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot e^3x(3 + 2x)

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^x^2 y ) = e^x^2 cdot e^3x(3 + 2x)

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^x^2 y ) dx = integral e^x^2 + 3x (3 + 2x) , dx

Passo 7

A integração do lado esquerdo simplifica para:
e^x^2 y = integral e^x^2 + 3x (3 + 2x) , dx + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 8

Observamos que a integral no lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja u = x^2 + 3x , então:
dudx = 2x + 3 Rightarrow du = (2x + 3) , dx
Notamos que (3 + 2x) , dx = du .

Passo 9

Substituindo, temos:
integral e^u , du = e^u + K
Onde K é outra constante de integração.
Portanto:
integral e^x^2 + 3x (3 + 2x) , dx = e^x^2 + 3x + K

Passo 10

Substituindo de volta na equação anterior:
e^x^2 y = e^x^2 + 3x + C
Onde C engloba todas as constantes de integração.

Passo 11

Isolando y :
y = e^x^2 + 3xe^x^2 + C e^-x^2
Simplificando:
y = e^3x + C e^-x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^3x + C e^-x^2

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