Considere a espiral r=2 theta (dada em coordenadas polares).
(a) (20 pontos) Calcule o comprimento do trecho da espiral satisfazendo 0 <= theta <= 2.
(b) (10 pontos) Encontre uma equação da reta tangente a essa espiral no ponto (r, theta)=(pi, pi2). Equação da reta em coordenadas cartesianas e também em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado dá a espiral em coordenadas polares
r = 2theta,
e pede duas coisas:
(a) o comprimento do trecho para 0<=theta<=2, usando a fórmula de comprimento em coordenadas polares
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta,
e (b) a reta tangente à curva no ponto l(r,thetar)=(pi,tfracpi2), tanto em eq. cartesianas como em eq. polares.

Passo 2

Vamos calcular o comprimento. Temos
r(theta)=2theta, r'(theta)=2
Então o integrando fica
raizr^2+(r')^2 =raiz(2theta)^2 + 2^2 =raiz4theta^2+4 =2raiztheta^2+1
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L=integral0^22raiztheta^2+1,dtheta

Passo 3

Para integrar usamos a primitiva conhecida
integral raiztheta^2+1,dtheta =theta2raiztheta^2+1 + 12lnl(theta+raiztheta^2+1r),
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integral 2raiztheta^2+1,dtheta =thetaraiztheta^2+1 + lnl(theta+raiztheta^2+1r)
Avaliando de 0 a 2:
L=l[,thetaraiztheta^2+1 + lnl(theta+raiztheta^2+1r)r]0^2 =2raiz5 + lnl(2+raiz5r)

Passo 4

Agora a reta tangente. Primeiro passamos para paramétricas
x(theta)=rcostheta=2thetacostheta, y(theta)=rsintheta=2thetasintheta
Então
dxdtheta =2costheta -2thetasintheta, dydtheta =2sintheta +2thetacostheta

Passo 5

Em theta0=tfracpi2 temos
r(tfracpi2)=pi, x0=0, y0=pi,
e
dxdtheta|theta0 =2costfracpi2 -2cdottfracpi2sintfracpi2 =-pi, dydtheta|theta0 =2sintfracpi2 +2cdottfracpi2costfracpi2 =2
A inclinação da tangente é
m=dy/dthetadx/dtheta =2-pi =-2pi

Passo 6

Em cartesianas a reta tangente em (0,pi) com inclinação -tfrac2pi é
y - pi = -2pil(x-0r) Longrightarrow y = pi - 2pi,x
Para passar a forma polar, usamos x=rcostheta, y=rsintheta:
rsintheta - pi = -2pi,rcostheta ;Longrightarrow; pi,rsintheta +2,rcostheta = pi^2 ;Longrightarrow; r = pi^2pisintheta + 2costheta

Resposta

(a)
L = 2raiz5 + lnl(2+raiz5r)
(b)
Em coordenadas cartesianas:
y = pi - 2pi,x
Em coordenadas polares:
r = pi^2pisintheta + 2costheta

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