Considere a espiral (dada em coordenadas polares).
(a) (20 pontos) Calcule o comprimento do trecho da espiral satisfazendo .
(b) (10 pontos) Encontre uma equação da reta tangente a essa espiral no ponto . Equação da reta em coordenadas cartesianas e também em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá a espiral em coordenadas polares
e pede duas coisas:
(a) o comprimento do trecho para , usando a fórmula de comprimento em coordenadas polares
e (b) a reta tangente à curva no ponto , tanto em eq. cartesianas como em eq. polares.
Passo 2
Vamos calcular o comprimento. Temos
Então o integrando fica
Logo
Passo 3
Para integrar usamos a primitiva conhecida
logo
Avaliando de a :
Passo 4
Agora a reta tangente. Primeiro passamos para paramétricas
Então
Passo 5
Em temos
e
A inclinação da tangente é
m=dy/dthetadx/dtheta =2-pi =-2pi
Passo 6
Em cartesianas a reta tangente em (0,pi) com inclinação -tfrac2pi é
y - pi = -2pil(x-0r) Longrightarrow y = pi - 2pi,x
Para passar a forma polar, usamos x=rcostheta, y=rsintheta:
rsintheta - pi = -2pi,rcostheta ;Longrightarrow; pi,rsintheta +2,rcostheta = pi^2 ;Longrightarrow; r = pi^2pisintheta + 2costheta