Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
- A. Qual a área da região limitada pelo limaçon
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- B. Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações
e
, no ponto
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- C. Qual o centróide da região plana
e
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado tem três itens que envolvem conteúdos distintos:
– (A) cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula
– (A) cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula
– (B) determinação da reta normal a uma curva parametrizada exigindo
e invertendo o coeficiente angular para a normal.
– (C) cálculo do centróide de uma região plana; aqui é um quarto de círculo de raio , cujo centróide em coordenadas cartesianas vale
– (C) cálculo do centróide de uma região plana; aqui é um quarto de círculo de raio
Passo 2
Para (A), temos
. Então
Calculamos termo a termo:
Somando e multiplicando por
dá
Passo 3
Para (B), a curva é
e queremos a reta normal no ponto
.
- Primeiro achamos
tal que e . De vem . Testando em , só dá
e . - Derivadas:
Em
:
,
. Logo o coeficiente angular da tangente é
e o da normal é
A reta normal:
, ou seja
.
Passo 4
Para (C), a região
é o quarto de círculo de raio
. Sabe-se que seu centróide em primeiro quadrante fica em
Resposta
A. (e)
B. (b)
C. (e)
B. (b)
C. (e)