Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
  1. A. Qual a área da região limitada pelo limaçon r=4+2 cos (theta) ?
    (a) 11 pi
    (b) 11 pi+2
    (c) 18 pi-2
    (d) 14 pi
    (e) 18 pi
  2. B. Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações x(t)=t^3-9 t e y(t)=raiz[3]t^2+3 t-17, no ponto (0,1) ?
    (a) y=-16 x-1
    (b) y=-6 x+1
    (c) y=6 x+1
    (d) y=-16 x+1
    (e) y=12 x+1
  3. C. Qual o centróide da região plana A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 4 e 0 <= y <= raiz16-x^2 ?
    (a) (18pi, 18pi)
    (b) (43 pi, 43 pi)
    (c) (4pi, 4pi)
    (d) (16 pi3, 16 pi3)
    (e) (163 pi, 163 pi)

Passo 1

O enunciado tem três itens que envolvem conteúdos distintos:
– (A) cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula
Área = tfrac12 integral0^2pi r(theta)^2 , dtheta Á
– (B) determinação da reta normal a uma curva parametrizada exigindo dy/dx=(y'(t))/(x'(t)) e invertendo o coeficiente angular para a normal.
– (C) cálculo do centróide de uma região plana; aqui é um quarto de círculo de raio 4, cujo centróide em coordenadas cartesianas vale
l(tfrac4R3pi,tfrac4R3pir)

Passo 2

Para (A), temos r(theta)=4+2costheta. Então
Área =tfrac12integral0^2pi(4+2costheta)^2dtheta =tfrac12integral0^2pil(16+16costheta+4cos^2thetar)dtheta Á
Calculamos termo a termo:
integral0^2pi16,dtheta=32pi, integral0^2pi16costheta,dtheta=0, integral0^2pi4cos^2theta,dtheta =4cdotpi=4pi
Somando e multiplicando por tfrac12
Área=tfrac12(32pi+4pi)=18pi Á

Passo 3

Para (B), a curva é
x(t)=t^3-9t, y(t)=(t^2+3t-17)^1/3,
e queremos a reta normal no ponto (0,1).
  1. Primeiro achamos t tal que x(t)=0 e y(t)=1. De x(t)=t(t^2-9)=0 vem t=0,pm3. Testando em y(t), só t=3
    (3^2+3cdot3-17)=1 e 1^1/3=1.
  2. Derivadas:
x'(t)=3t^2-9, y'(t)=tfrac13(t^2+3t-17)^-2/3(2t+3)
Em t=3: x'(3)=18, y'(3)=tfrac13cdot1^-2/3cdot9=3. Logo o coeficiente angular da tangente é
mtan=dy/dtdx/dt=318=16,
e o da normal é
mnorm=-1mtan=-6
A reta normal: y-1=-6(x-0), ou seja y=-6x+1.

Passo 4

Para (C), a região A é o quarto de círculo de raio R=4. Sabe-se que seu centróide em primeiro quadrante fica em
l(bar x,bar yr) =l(tfrac4R3pi,tfrac4R3pir) =l(tfrac163pi,tfrac163pir)

Resposta

A. (e)
B. (b)
C. (e)

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