Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
x^2 d yd x+2 x y=x^4-7

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2,dydx + 2,x,y = x^4 - 7
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar colocá-la na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (supondo xneq0), obtemos a forma padrão:
dydx + 2x,y = x^2 - 7,x^-2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), definido por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) com P(x)=2x
Logo,
mu(x) = expl(integral tfrac2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2:
x^2,dydx + 2,x,y = x^2l(x^2-7x^-2r) = x^4-7
Repare que o lado esquerdo é justamente a derivada do produto x^2y, pois
ddxl(x^2yr) = x^2,dydx + 2x,y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x^2yr),dx = integral l(x^4-7r),dx Longrightarrow x^2y = x^55 - 7x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y = 1x^2l(x^55 - 7x + Cr) = x^35 - 7x + C,x^-2

Resposta

boxed y(x) = x^35 - 7x + C,x^-2

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