Classifique cada equação diferencial segundo a ordem, o grau (quando possível) e a linearidade. Determinar a função incógnita e a variável independente.
a) y^prime prime prime-5 x y^prime=e^x+1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
y^primeprimeprime-5x,y^prime=e^x+1
segundo ordem, grau e linearidade, e também determinar a função incógnita e a variável independente. Vamos usar os conceitos de ordem de derivada, grau (para equações diferenciais polinomiais) e teste de linearidade.

Passo 2

Para identificar a incógnita e a variável independente, notamos que os primos indicam derivadas em relação a x. Logo, a função incógnita é y e a variável independente é x.

Passo 3

A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece. Aqui o termo de maior ordem é y^primeprimeprime. Portanto a ordem é ,3.

Passo 4

O grau de uma equação diferencial polinomial é o expoente da derivada de maior ordem, depois de eliminar frações ou radicais. Nesta equação os termos em y^primeprimeprime e y^prime aparecem de forma polinomial e o expoente de y^primeprimeprime é ,1. Logo o grau é ,1.

Passo 5

Uma equação é linear se a incógnita e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência, sem produtos entre si, e com coeficientes que dependem só de x. Aqui temos
y^primeprimeprime-5x,y^prime=e^x+1
onde y^primeprimeprime e y^prime aparecem linearmente e os coeficientes são funções de x. O membro direito depende apenas de x. Portanto a equação é linear.

Resposta

Ordem ,3, grau ,1, linear. Incógnita y e variável independente x.

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