Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
x d y-5 y d x=(4 x+x^6) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,dy - 5y,dx = l(4x + x^6r),dx
Este é um caso de equação de primeira ordem que pode ser escrita na forma linear
dydx - 5x,y = 4 + x^5,
onde usaremos o método do fator integrante.

Passo 2

Para colocar na forma padrão dividimos toda a equação por dx e depois por x, obtendo
x,dydx - 5y = 4x + x^6 Longrightarrow dydx - 5x,y = 4 + x^5

Passo 3

Reconhecemos que a equação é linear em y com coeficiente de y igual a -5/x. O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = exp!l(integral -tfrac5x,dxr) = exp(-5ln|x|) = x^-5

Passo 4

Multiplicamos a equação inteira por x^-5, o que transforma o lado esquerdo em derivada do produto mu y:
x^-5dydx - 5x,x^-5y = ddxl(x^-5yr),
e o lado direito fica
(4 + x^5),x^-5 = 4x^-5 + 1
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ddxl(x^-5yr) = 4x^-5 + 1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-5y = integrall(4x^-5 + 1r),dx = 4integral x^-5dx + integral 1,dx = 4cdotx^-4-4 + x + C = -x^-4 + x + C
Multiplicando por x^5, obtemos a solução geral
y = x^5l(-x^-4 + x + Cr) = -x + x^6 + C,x^5

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = x^6 - x + C,x^5,
onde C é a constante de integração.

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