Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
x d yd x+2 y=(x^2+4)^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
xdydx+2y=(x^2+4)^3
Trata-se de uma equação linear em y. Vamos colocá-la na forma padrão e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (assumindo xneq0) para obter
dydx+2x,y=(x^2+4)^3x

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x)=exp!l(integral 2x,dxr) =exp(2ln|x|) = x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2:
x^2dydx+2x,y = x^2cdot(x^2+4)^3x Longrightarrow ddxl(x^2yr) = x,(x^2+4)^3

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=integral x,(x^2+4)^3,dx +C
Fazendo u=x^2+4, temos du=2x,dx e
integral x,(x^2+4)^3dx =12integral u^3,du =u^48 =(x^2+4)^48
Logo
x^2y=(x^2+4)^48+C

Passo 6

Bastapara isolar y:
y=(x^2+4)^48x^2+Cx^2

Resposta

y(x)=(x^2+4)^48,x^2+Cx^2,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados