Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações x(t)=t^3-4 t e y(t)=raiz[3]t^2-3 t+1, no ponto (0,-1) ?
(a) y=-24 x-1
(b) y=12 x-1
© y=124 x-1
(d) y=-124 x-1
(e) y=24 x-1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva dada de forma paramétrica por x(t)=t^3-4t e y(t)=raiz[3]t^2-3t+1 no ponto (0,-1). O conteúdo envolve derivadas de funções paramétricas e equação de reta normal.

Passo 2

Para encontrar o parâmetro t0 que gera o ponto (0,-1), resolvemos o sistema:
t^3-4t=0
e
raiz[3]t^2-3t+1=-1
Da primeira equação vem t(t^2-4)=0 então t=0,pm2. Da segunda vem t^2-3t+1=-1 ou t^2-3t+2=0, logo t=1 ou t=2. A única interseção é t0=2.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas:
x'(t)=3t^2-4
y'(t)=13(t^2-3t+1)^-2/3(2t-3)

Passo 4

Avaliando em t0=2 obtemos:
x'(2)=3cdot2^2-4=12-4=8
y'(2)=13(-1)^-2/3(4-3)=13cdot1cdot1=13
Logo a inclinação da reta tangente é
mt=y'(2)x'(2)=1/38=124

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular mn=-1/mt=-24. Passando por (0,-1), sua equação é:
y=-24x-1

Resposta

y=-24x-1

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