Assinale a alternativa que contém o formato correto da solução particular da EDO:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=1-\operatorname{sen} 3 t
a) y_{p}=C t \operatorname{sen} 3 t+D t \cos 3 t
r^{2}-3 r=0
b) y_{p}=C \operatorname{sen} 3 t
r(r-3)=0
c) y_{p}=C t \operatorname{sen} 3 t
r=0 \text { au } r=3
(d) y_{p}=C \operatorname{sen} 3 t+D \cos 3 t
e) y_{p}=D \cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a forma geral de uma solução particular y_p da EDO
y'' - 3y' = 1 - \operatorname{sen} 3t
e já nos dá a equação característica do homogeneizado
r^2 - 3r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\;r=3.
Logo o complementar é
y_h = A + Be^{3t},
e precisamos de um y_p que cubra ambos os termos não-homogêneos: o termo constante 1 e o termo -\sen3t.

Passo 2

Para o termo constante 1:
– Se tentássemos y_{p1}=K (constante), ao substituir em y''-3y' daria zero, entrando em conflito com a raiz r=0 do homogêneo.
– Logo multiplicamos por t e fazemos o \emph{ansatz}
y_{p1} = Pt.

Passo 3

Para o termo -\sin 3t:
– As raízes da característica são 0 e 3, que não coincidem com \pm 3i.
– Então o \emph{ansatz} usual sem multiplicação extra já funciona:
y_{p2} = C \sin 3t + D \cos 3t.

Passo 4

A forma completa da solução particular é a soma dos dois pedaços:
y_p = Pt \;+\; C\sen3t \;+\; D\cos3t.
Desses termos, apenas o bloco que trata o seno 3t está no formato
C\sen3t + D\cos3t,
que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)

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