A matriz
tem autovalores
e
. Se
e
são autovetores associados a estes autovalores, marque a alternativa que contém a solução geral do sistema:
(a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
cuja matriz de coeficientes é
Temos os autovalores
e
com autovetores complexos correspondentes
Como os autovalores são complexos conjugados, a solução real geral do sistema surge tomando as partes real e imaginária de
Passo 2
Calculamos o produto
. Primeiro lembramos que
Logo,
Passo 3
Multiplicando coordenada a coordenada, obtemos para a primeira componente:
Passo 4
Para a segunda componente:
Assim,
Passo 5
As duas soluções reais independentes são as partes real e imaginária de
:
Passo 6
A solução geral real do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, vemos que isto coincide exatamente com a alternativa (a), pois
Resposta
(a)
.