A matriz A=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) tem autovalores \lambda_{1}=i e \lambda_{2}=-i. Se K_{1}=\binom{-1+2 i}{i} e K_{2}=\binom{-1-2 i}{-i} são autovetores associados a estes autovalores, marque a alternativa que contém a solução geral do sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=2 x_{1}-5 x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=x_{1}-2 x_{2} \end{array}\right.
(a) X(t)=A\binom{-\cos t-2 \operatorname{sen} t}{-\operatorname{sen} t}+B\binom{2 \cos t-\operatorname{sen} t}{1 \cos t}
b) X(t)=A\binom{\cos t}{\operatorname{sen} t}+B\binom{-\operatorname{sen} t}{\cos t}
c) X(t)=A\binom{2 \cos t}{-\operatorname{sen} t+\cos t}+B\binom{\operatorname{sen} t}{\cos t}
d) X(t)=A\binom{2 \cos t}{\cos t-\operatorname{sen} t}+B\binom{\operatorname{sen} t}{\cos t+2 \operatorname{sen} t}
e) X(t)=A\binom{-\cos t}{0}+B\binom{-2 \operatorname{sen} t}{\operatorname{sen} t}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x_{1}' = 2x_{1} - 5x_{2},\\\ x_{2}' = x_{1} - 2x_{2}, \end{cases}
cuja matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix}2 & -5\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
Temos os autovalores \lambda_{1}=i e \lambda_{2}=-i com autovetores complexos correspondentes
K_{1}=\begin{pmatrix}-1+2i\\\ i\end{pmatrix},\quad K_{2}=\begin{pmatrix}-1-2i\\\\ -\,i\end{pmatrix}.
Como os autovalores são complexos conjugados, a solução real geral do sistema surge tomando as partes real e imaginária de
X_{c}(t)=e^{it}K_{1}.

Passo 2

Calculamos o produto e^{it}K_{1}. Primeiro lembramos que
e^{it} = \cos t + i\sin t \quad\text{e}\quad K_{1} = \begin{pmatrix}-1+2i\\\ i\end{pmatrix}.
Logo,
X_{c}(t) = (\cos t + i\sin t) \begin{pmatrix}-1+2i\\\ i\end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicando coordenada a coordenada, obtemos para a primeira componente:
(-1+2i)(\cos t + i\sin t) = -\cos t - i\sin t + 2i\cos t +2i^{2}\sin t = (-\cos t -2\sin t) + i(-\sin t +2\cos t).

Passo 4

Para a segunda componente:
i(\cos t + i\sin t) = i\cos t + i^{2}\sin t = (-\sin t) + i\,\cos t.
Assim,
X_{c}(t) = \begin{pmatrix} (-\cos t -2\sin t) + i(-\sin t +2\cos t)\\\ (-\sin t) + i\,\cos t \end{pmatrix}.

Passo 5

As duas soluções reais independentes são as partes real e imaginária de X_{c}(t):
X_{1}(t) = \Re\{X_{c}(t)\} = \begin{pmatrix}-\cos t -2\sin t\\\\ -\sin t\end{pmatrix}, \quad X_{2}(t) = \Im\{X_{c}(t)\} = \begin{pmatrix}-\sin t +2\cos t\\\ \cos t\end{pmatrix}.

Passo 6

A solução geral real do sistema é
X(t) = A\,X_{1}(t) + B\,X_{2}(t) = A\begin{pmatrix}-\cos t -2\sin t\\\\ -\sin t\end{pmatrix} + B\begin{pmatrix}-\sin t +2\cos t\\\ \cos t\end{pmatrix},
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, vemos que isto coincide exatamente com a alternativa (a), pois
-\sin t +2\cos t = 2\cos t - \sin t.

Resposta

(a) X(t)=A\binom{-\cos t-2\operatorname{sen} t}{-\operatorname{sen} t}+B\binom{2\cos t-\operatorname{sen} t}{\cos t}.

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