Marque a alternativa que contém a solução geral de
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0
a) y(x)=A x^{-1}+B x^{2} \ln x
(b) y(x)=A x^{-1}+B x^{2}
c) y(x)=A x^{-1}+B x^{-1} \ln x
d) y(x)=A x^{2}+B x^{2} \ln x
e) y(x)=A x^{1}+B x^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y'' - 2y = 0
que é uma equação de Euler–Cauchy (coeficientes em potências de x). Para esse tipo de equação, buscamos uma solução da forma
y(x) = x^{m}.

Passo 2

Vamos calcular y' e y'' quando y=x^{m}:
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituindo na equação x^{2}y''-2y=0:
x^{2}\bigl[m(m-1)\,x^{m-2}\bigr] - 2\,x^{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)\,x^{m} - 2\,x^{m} = 0
\bigl[m(m-1) - 2\bigr]x^{m} = 0.
Como x^{m}\neq0, a condição é
m(m-1) - 2 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica
m^{2} - m - 2 = 0
usando fórmula de Bhaskara,
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
logo os dois raízes são
m_{1}=2,\quad m_{2}=-1.

Passo 5

A solução geral é combinação linear das duas potências:
y(x) = A\,x^{m_{1}} + B\,x^{m_{2}} = A\,x^{2} + B\,x^{-1}.

Resposta

(b) y(x)=A\,x^{-1}+B\,x^{2}

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