Assinale a alternativa que contenha o calculo da integral de linha integralC(ln x^3-2 y^2) d x+(5 x-e^y^2) d y, considerando C a curva dada por x^22+y^25=1, orientada no sentido anti-horário:
a. 0
b. 5 raiz10 pi
c. -2 raiz10 pi
d. 10 raiz10 pi
e. 5 raiz10 pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral de linha envolvendo uma curva elíptica. O enunciado pede para calcular a integral:
integralC(ln x^3-2 y^2) dx + (5 x - e^y^2) dy
onde C é a curva dada por x^22 + y^25 = 1 , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Green diz. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a área dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Aqui, P = ln x^3 - 2 y^2 e Q = 5x - e^y^2 . Nosso objetivo é encontrar partial Qpartial x - partial Ppartial y e depois calcular a integral dupla sobre a região D delimitada por C .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de Q em relação a x :
partial Qpartial x = partialpartial x (5x - e^y^2) = 5
(porque a derivada de 5x em relação a x é 5 e e^y^2 não depende de x , então sua derivada é 0)
  1. Derivada parcial de P em relação a y :
partial Ppartial y = partialpartial y (ln x^3 - 2 y^2) = -4y
(a derivada de ln x^3 em relação a y é 0 e a derivada de -2 y^2 é -4y )
Agora, subtraindo essas duas derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 5 - (-4y) = 5 + 4y

Passo 4

Agora precisamos configurar a integral dupla sobre a região D . A equação da curva C é uma elipse:
x^22 + y^25 = 1
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo. Definimos:
u = xraiz2 e v = yraiz5
Assim, a equação se torna:
u^2 + v^2 = 1
Agora, a área D no plano uv é um círculo de raio 1. Precisamos também calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano J é dado por:
J = | partial(x, y)partial(u, v) | = | cc partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v | = | cc raiz2 & 0 0 & raiz5 | = raiz2 cdot raiz5 = raiz10

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral dupla com as novas variáveis u e v :
integral duplaD (5 + 4y) , dx , dy = integral duplaD' (5 + 4 cdot raiz5 v ) cdot J , du , dv = raiz10 integral duplaD' (5 + 4 raiz5 v ) du , dv
Onde D' é o círculo u^2 + v^2 <= 1 .
Vamos separar a integral em duas partes:
  1. Integral de 5:
raiz10 cdot 5 integral duplaD' du , dv = 5 raiz10 cdot Área do círculo = 5 raiz10 cdot pi (1)^2 = 5 raiz10 pi Áí
  1. Integral de 4 raiz5 v :
raiz10 cdot 4 raiz5 integral duplaD' v , du , dv
Mas observe que a função v é ímpar em relação a v e estamos integrando sobre um círculo simétrico em v . Portanto, essa integral será zero.
Somando as duas partes:
5 raiz10 pi + 0 = 5 raiz10 pi

Resposta

A resposta correta é a alternativa b. 5 raiz10 pi

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