Assinale a alternativa que contenha o calculo da integral de linha , considerando a curva dada por , orientada no sentido anti-horário:
a. 0
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral de linha envolvendo uma curva elíptica. O enunciado pede para calcular a integral:
onde é a curva dada por , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema de Green diz. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a área dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar e depois calcular a integral dupla sobre a região delimitada por .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Derivada parcial de em relação a :
(porque a derivada de em relação a é 5 e não depende de , então sua derivada é 0)
Derivada parcial de em relação a :
(a derivada de em relação a é 0 e a derivada de é )
Agora, subtraindo essas duas derivadas:
Passo 4
Agora precisamos configurar a integral dupla sobre a região . A equação da curva é uma elipse:
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo. Definimos:
Assim, a equação se torna:
Agora, a área no plano é um círculo de raio 1. Precisamos também calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral dupla com as novas variáveis u e v :
integral duplaD (5 + 4y) , dx , dy = integral duplaD' (5 + 4 cdot raiz5 v ) cdot J , du , dv = raiz10 integral duplaD' (5 + 4 raiz5 v ) du , dv
Onde D' é o círculo u^2 + v^2 <= 1 .
Vamos separar a integral em duas partes:
Integral de 5:
raiz10 cdot 5 integral duplaD' du , dv = 5 raiz10 cdot Área do círculo = 5 raiz10 cdot pi (1)^2 = 5 raiz10 pi Áí
Integral de 4 raiz5 v :
raiz10 cdot 4 raiz5 integral duplaD' v , du , dv
Mas observe que a função v é ímpar em relação a v e estamos integrando sobre um círculo simétrico em v . Portanto, essa integral será zero.