Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=1+4 t-t^2, y=2-t^3 ; t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x=1+4t - t^2, y=2 - t^3
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=1.
O conteúdo aqui é cálculo de reta tangente a curva paramétrica, usando
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto em que t=1:
x(1)=1+4cdot1 - 1^2=4,
y(1)=2 - 1^3=1
Em seguida, calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=4 - 2t, dydt=-3t^2
Avalia-mos em t=1:
dxdt|t=1=4-2=2, dydt|t=1=-3cdot1^2=-3

Passo 3

A inclinação da reta tangente é
m = dydx|t=1 = -32
Usando a forma ponto-inclinação em (4,1):
y - 1 = -tfrac32,(x - 4)
Podemos reescrever em forma explícita:
y = -tfrac32,x + 7

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy = -tfrac32,x + 7

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