Assinale a alternativa correta, considerando a função a seguir.
a) O domínio da função é o conjunto dos números reais.
b) O gráfico da função passa pelo ponto ( 0,0 ).
c) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta
.
d) Seu gráfico toca o eixo
.
e) Seu gráfico toca o eixo
em dois pontos distintos.
b) O gráfico da função passa pelo ponto ( 0,0 ).
c) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta
d) Seu gráfico toca o eixo
e) Seu gráfico toca o eixo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu assinale a alternativa correta entre:
a) O domínio da função é o conjunto dos números reais.
b) O gráfico da função passa pelo ponto .
c) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta .
d) Seu gráfico toca o eixo .
e) Seu gráfico toca o eixo em dois pontos distintos.
a) O domínio da função é o conjunto dos números reais.
b) O gráfico da função passa pelo ponto
c) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta
d) Seu gráfico toca o eixo
e) Seu gráfico toca o eixo
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita da função
(uma expressão polinomial/afim simples) e as cinco afirmações sobre domínio, pontos do gráfico, assíntota e interseções com eixos.
Passo 2
Entendendo o que significa “domínio” e aplicando à função: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). A função
é uma função polinomial (na verdade uma função afim, reta). Polinômios são definidos para todo número real porque não envolvem divisões por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos, etc. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Verificando a afirmação (b): "O gráfico da função passa pelo ponto
". Para saber se o gráfico passa por
calculo
.
O ponto do gráfico com
é
, não
. Então a afirmação (b) é falsa.
Passo 4
Explicando assíntota vertical e verificando (c): uma assíntota vertical é uma reta
onde a função tende a
ou
quando
se aproxima de
, normalmente ocorrendo onde a função não está definida (p.ex. denominador zero em uma função racional). A função
é definida para todo
e tem valor finito em
:
Não há nenhum comportamento infinito nem ponto onde a função deixa de ser definida; portanto não existe assíntota vertical
(nem qualquer outra). A afirmação (c) é falsa.
Passo 5
Interpretação e verificação de (d): "Seu gráfico toca o eixo
". Primeiro definimos interseção com o eixo
: pontos do eixo
têm coordenada
. Calculamos
(feito no Passo 3): obtemos
. Assim o gráfico intersecta o eixo
no ponto
. Se interpretar “toca” como “intersecta”, a afirmação (d) é verdadeira. Contudo, em algumas questões “toca” é usada no sentido de “tangentear” (tocar sem cruzar); uma reta não-vertical cruza o eixo
e não é tangente a ele (ser tangente ao eixo
exigiria ser a reta
). Para que a questão seja objetiva com exatamente uma alternativa correta, devemos adotar a interpretação habitual em provas: “tocar” = “intersectar”. Nesta leitura, (d) é verdadeira — mas então teríamos duas afirmações verdadeiras ((a) e (d)). Como enunciado pede uma única alternativa correta, é mais consistente com provas objetivas interpretar “toca” aqui no sentido de “ser tangente/encostar sem cruzar”. Sob essa interpretação mais restrita, a reta não é tangente ao eixo
(ela cruza em
), logo (d) seria considerada falsa. Vou seguir essa interpretação para garantir unicidade da resposta objetiva.
Passo 6
Verificando (e): “Seu gráfico toca o eixo
em dois pontos distintos.” Interseção com o eixo
ocorre quando
. Resolvo:
Só existe uma solução
, portanto o gráfico intercepta o eixo
em um único ponto
, não em dois pontos distintos. A afirmação (e) é falsa.
Passo 7
Resumo das verdades/falsidades (adotando a interpretação de “tocar” em (d) como tangência, para garantir alternativa única correta):
(a) verdadeira.
(b) falsa.
(c) falsa.
(d) falsa (na interpretação “tocar” = ser tangente; se fosse “intersectar” seria verdadeira, mas isso deixaria duas alternativas verdadeiras).
(e) falsa.
(a) verdadeira.
(b) falsa.
(c) falsa.
(d) falsa (na interpretação “tocar” = ser tangente; se fosse “intersectar” seria verdadeira, mas isso deixaria duas alternativas verdadeiras).
(e) falsa.
Concluo que a alternativa correta (única) é a (a).
Resposta
(a)