Assinale a alternativa correta.

a. \int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1} d x=\frac{9}{2}
b. \int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1} d x=4
c. \int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1} d x=1
d. \int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1} d x=\frac{5}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1}\,dx
Este é um problema de integração de uma função racional. Para resolvê-lo, vamos fazer divisão de polinômios para simplificar o integrando.

Passo 2

Dividindo o polinômio x^{3}+1 pelo polinômio x+1, usamos divisão sintética com raiz -1:
coeficientes de x^{3}+0x^{2}+0x+1 são (1,0,0,1).
Ao aplicar a divisão obtemos quociente x^{2}-x+1 e resto 0.

Passo 3

Portanto
\frac{x^{3}+1}{x+1} = x^{2} - x + 1,
e a integral original fica
\int_{0}^{1}(x^{2} - x + 1)\,dx.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo. Uma primitiva de x^{2}-x+1 é
F(x)=\int (x^{2}-x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x.

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(x^{2}-x+1)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - \tfrac{x^{2}}{2} + x\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + 1\Bigr) - 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{2 - 3 + 6}{6} = \frac{5}{6}.

Resposta

d. \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{3}+1}{x+1}\,dx = \frac{5}{6}.

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