(6,0) Resolva as Equações Diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\left(1+y^{2}\right) \cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \bigl(1 + y^2\bigr)\cos x
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis y e x para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{dy}{1+y^2} = \cos x \,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \cos x \,dx
O lado esquerdo dá \arctan y e o direito dá \sin x mais constante C. Logo,
\arctan y = \sin x + C.

Passo 4

Para obter y isolado, aplicamos a tangente em ambos os lados:
y = \tan\bigl(\sin x + C\bigr).

Resposta

y(x) = \tan\bigl(\sin x + C\bigr),
onde C é a constante de integração.

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