De uma tabela de integrais, temos a fórmula
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}=\frac{x}{2 a^{2}(n-1)\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2 a^{2}(n-1)} \int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}.
Assim sendo, a integral \int \frac{d x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}} é igual a
Escolha uma opção:
a. \frac{2 x}{\left(x^{2}+3\right)^{3}}+C
b. \frac{x}{6\left(x^{2}+3\right)}+\frac{\sqrt{3}}{18} \cdot \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}}+C
c. \frac{2 x}{x^{2}+3}+C
d. \frac{x}{6\left(x^{2}+3\right)}+\frac{1}{18} \cdot \operatorname{arctg} x+C
e. \frac{x}{6\left(x^{2}+3\right)}+\operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{(x^2+3)^2}
usando a fórmula de redução para integrais da forma \int dx/(x^2+a^2)^n. Isso envolve aplicar a fórmula recursiva e depois usar a primitiva de \int dx/(x^2+a^2).

Passo 2

A fórmula geral de redução é
\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^n} = \frac{x}{2a^2(n-1)\,(x^2 + a^2)^{\,n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)} \int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{\,n-1}}.

Passo 3

Aqui temos n=2 e a^2=3 (logo a=\sqrt{3}). Substituindo na fórmula:
\int \frac{dx}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x}{2\cdot3\,(x^2+3)^{1}} + \frac{1}{2\cdot3}\int \frac{dx}{x^2+3}.

Passo 4

O primeiro termo simplifica-se assim:
\frac{x}{2\cdot3\,(x^2+3)} = \frac{x}{6(x^2+3)}.

Passo 5

Para o segundo termo usamos
\int \frac{dx}{x^2+3} = \int \frac{dx}{x^2+(\sqrt3)^2} = \frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr).
Logo
\frac{1}{2\cdot3}\int \frac{dx}{x^2+3} = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr) = \frac{1}{6\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr).

Passo 6

Observando que \frac{1}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{18}, concluímos que
\int \frac{dx}{(x^2+3)^2} = \frac{x}{6(x^2+3)} + \frac{\sqrt3}{18}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr) + C.

Passo 7

Comparando com as alternativas, isso coincide exatamente com a letra (b).

Resposta

b. \displaystyle \frac{x}{6(x^2+3)}+\frac{\sqrt3}{18}\cdot \operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr)+C

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