Se F(x)=\int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{x}\right) d x e F(1)=\frac{1}{3} então, podemos afirmar que:
a. F(x)=\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot \ln (x)+1}{3}
b. F(x)=\frac{\sqrt{x^{3}}}{3}+\sqrt{x} \cdot \ln (2)-\ln (2)
c. F(x)=\frac{\sqrt{x^{3}}}{3}+\sqrt{2} \cdot \ln (x)
d. \quad F(x)=x^{\frac{2}{3}} \cdot \ln (x)+\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
F(x)=\int\Bigl(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{x}\Bigr)\,dx
sabendo que F(1)=\tfrac{1}{3}. O conteúdo envolvido é aplicação da regra do poder para integrais e da integral de 1/x, seguida de ajuste da constante de integração.

Passo 2

Para o primeiro termo usamos a regra do poder:
\int \frac{\sqrt{x}}{2}\,dx =\int \frac{x^{1/2}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\,\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} =\frac{x^{3/2}}{3}.

Passo 3

Para o segundo termo usamos a integral de x^{-1}:
\int \frac{\sqrt{2}}{x}\,dx =\sqrt{2}\,\int x^{-1}\,dx =\sqrt{2}\,\ln\lvert x\rvert.
Assim, a primitiva geral é
F(x)=\frac{x^{3/2}}{3}+\sqrt{2}\,\ln(x)+C.

Passo 4

Impondo F(1)=\tfrac{1}{3}
\frac{1^{3/2}}{3}+\sqrt{2}\,\ln(1)+C =\frac{1}{3}+0+C =\frac{1}{3},
logo C=0. Portanto
F(x)=\frac{x^{3/2}}{3}+\sqrt{2}\,\ln(x).

Resposta

c.

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