Seja f:[0,3] \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que, \int_{0}^{3} f(x) d x=4 \mathrm{e} \int_{0}^{3} f(x)^{2} d x=6. Então, o valor de \int_{3}^{0}(f(x)+1)^{2} d x é dado por:

Passo 1

O enunciado dá uma função f:[0,3]\to\mathbb{R} com
\int_{0}^{3}f(x)\,dx = 4
e
\int_{0}^{3}f(x)^{2}\,dx = 6,
e pede o valor de \displaystyle \int_{3}^{0}\bigl(f(x)+1\bigr)^{2}\,dx. Para resolver vamos usar a expansão de quadrado, a linearidade da integral e a propriedade de troca de limites.

Passo 2

Expandindo o integrando e aplicando linearidade, temos
(f(x)+1)^{2} = f(x)^{2} + 2f(x) + 1,
logo
\int_{0}^{3}(f(x)+1)^{2}\,dx = \int_{0}^{3}f(x)^{2}\,dx \;+\; 2\int_{0}^{3}f(x)\,dx \;+\; \int_{0}^{3}1\,dx.

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos, obtemos
\int_{0}^{3}f(x)^{2}\,dx = 6,\quad 2\int_{0}^{3}f(x)\,dx = 2\cdot 4 = 8,\quad \int_{0}^{3}1\,dx = 3.
Portanto
\int_{0}^{3}(f(x)+1)^{2}\,dx = 6 + 8 + 3 = 17.

Passo 4

Usando a propriedade de troca de limites de integração,
\int_{3}^{0}(f(x)+1)^{2}\,dx = -\int_{0}^{3}(f(x)+1)^{2}\,dx = -17.

Resposta

-17

Exercícios relacionados