Mostre pela definição que se
é um inteiro positivo fixo
Passo 1
O problema pede para provar, usando a definição de limite, que para um inteiro positivo fixo
vale
Informações relevantes dadas:
-
é um inteiro positivo fixo (isto é, e ). - A função considerada é
, cujo domínio natural é . - Deve-se usar a definição de limite que caracteriza divergência para
.
Passo 2
Relembrando a definição precisa que vamos usar (essa é a “definição para limite infinito”): dizer que
significa que, para todo número real
existe um
tal que, sempre que
(ou seja,
), teremos
.
Em palavras: podemos tornar
maior que qualquer número positivo
escolhendo
suficientemente próximo de
(mas diferente de
).
Passo 3
Vamos manipular a desigualdade que precisamos satisfazer. Queremos garantir
para
. Note que, para qualquer
,
pois a potência é par. Assim a desigualdade pode ser escrita como
Invertendo (tudo positivo) obtemos uma condição equivalente
Agora, como a função
é estritamente crescente para
, a última desigualdade é equivalente a
Passo 4
Construção do
. Seja um
qualquer. Definimos
Observações:
porque
e
. Agora, se
, então elevando ambos os lados à potência
(que preserva a desigualdade para não-negativos) obtemos
Invertendo (novamente tudo positivo),
Como
, isto dá exatamente
sempre que
.
Passo 5
Conclusão segundo a definição. Mostramos que para todo
existe
(especificamente
) tal que
implica
. Portanto, pela definição de limite que tende a
, temos