Mostre pela definição que se n é um inteiro positivo fixo
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2 n}}=+\infty

Passo 1

O problema pede para provar, usando a definição de limite, que para um inteiro positivo fixo n vale
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2n}}=+\infty.
Informações relevantes dadas:
  • n é um inteiro positivo fixo (isto é, n\in\mathbb{N} e n\ge 1).
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x^{2n}}, cujo domínio natural é x\neq 0.
  • Deve-se usar a definição de limite que caracteriza divergência para +\infty.

Passo 2

Relembrando a definição precisa que vamos usar (essa é a “definição para limite infinito”): dizer que
\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty
significa que, para todo número real \,M>0\,, existe um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<\delta (ou seja, 0<|x|<\delta), teremos f(x)>M.
Em palavras: podemos tornar f(x) maior que qualquer número positivo M escolhendo x suficientemente próximo de 0 (mas diferente de 0).

Passo 3

Vamos manipular a desigualdade que precisamos satisfazer. Queremos garantir
\frac{1}{x^{2n}}>M
para 0<|x|<\delta. Note que, para qualquer x\neq 0,
x^{2n} = |x|^{2n},
pois a potência é par. Assim a desigualdade pode ser escrita como
\frac{1}{|x|^{2n}}>M.
Invertendo (tudo positivo) obtemos uma condição equivalente
|x|^{2n}<\frac{1}{M}.
Agora, como a função t\mapsto t^{2n} é estritamente crescente para t\ge 0, a última desigualdade é equivalente a
|x|<\left(\frac{1}{M}\right)^{\!1/(2n)}.

Passo 4

Construção do \delta. Seja um M>0 qualquer. Definimos
\delta := \left(\frac{1}{M}\right)^{\!1/(2n)}.
Observações: \delta>0 porque M>0 e 1/(2n)>0. Agora, se 0<|x|<\delta, então elevando ambos os lados à potência 2n (que preserva a desigualdade para não-negativos) obtemos
|x|^{2n} < \delta^{2n} = \frac{1}{M}.
Invertendo (novamente tudo positivo),
\frac{1}{|x|^{2n}} > M.
Como \dfrac{1}{x^{2n}}=\dfrac{1}{|x|^{2n}}, isto dá exatamente \dfrac{1}{x^{2n}}>M sempre que 0<|x|<\delta.

Passo 5

Conclusão segundo a definição. Mostramos que para todo M>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=(1/M)^{1/(2n)}) tal que 0<|x|<\delta implica \dfrac{1}{x^{2n}}>M. Portanto, pela definição de limite que tende a +\infty, temos
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2n}}=+\infty.

Resposta

\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2n}}=+\infty

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