Assinale a alternativa INCORRETA:
a. Para efetuar a quitação de qualquer dívida de seus clientes, um banco oferece um desconto de 45 \% para a quitação do valor total da dívida. Um cliente possui uma dívida total de \mathrm{R} \ 1.500,00 com esse banco e decide quitar sua dívida. Assim, o valor pago por esse cliente na quitação dessa dívida foi deíçãí\mathrm{R} $825,00 . b. Sabendo-se que foi aplicado um desconto racional composto com taxa de desconto de \(2 \%\) ao mês, o valor resgatado foi \(\mathrm{R} \\) 5.000,00;
c. A empresa \mathbf{E} desconta um título de valor nominal \mathbf{V} em um banco que realiza essa operação aplicando taxa de desconto comercial simples (ou “por fora”, como essa modalidade de cobrança também é conhecida) de 2 \% ao mês. Se o prazo para apresentação do título é de \mathbf{1 0} meses, então a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação é de 3,5%.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ENGENHARIA ECONÔMICA

d. Uma nota promissória com valor nominal de \mathrm{R} \ 12.000,00 , descontada a uma taxa comercial simples de6 % ao mês, três meses antes do respectivo vencimento, tem valor atual de R\êê9.840,00.

Passo 1

O enunciado pede para assinalar a alternativa INCORRETA dentre as quatro dadas. Vou listar, de forma clara, as informações numéricas e o que cada alternativa afirma:
  • Alternativa (a): desconto de 45\% sobre dívida de \mathrm{R}\$\,1{,}500{,}00; afirma que o valor pago foi \mathrm{R}\$\,825{,}00.
  • Alternativa (b): afirma que foi aplicado um desconto racional composto com taxa de desconto de 2\% ao mês e que o valor resgatado foi \mathrm{R}\$\,5.000{,}00.
  • Alternativa (c): um título de valor nominal V é descontado por um banco com desconto comercial simples de 2\% ao mês; prazo de apresentação 10 meses; afirma que a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação é 3{,}5\%.
  • Alternativa (d): nota promissória nominal \mathrm{R}\$\,12.000{,}00, descontada à taxa comercial simples de 6\% ao mês, três meses antes do vencimento; afirma que o valor atual é \mathrm{R}\$\,9.840{,}00.
O objetivo é verificar a veracidade de cada afirmação e indicar qual é a incorreta.

Passo 2

Análise detalhada da alternativa (a).
Primeiro, o conceito usado aqui é desconto percentual simples sobre o montante total: se há desconto de 45\%, o cliente paga 100\%-45\%=55\% do valor original.
Cálculo:
\text{valor pago} = 1{,}500 \times (1-0{,}45) = 1{,}500 \times 0{,}55.
Faço a multiplicação:
1{,}500 \times 0{,}55 = 1{,}500 \times \frac{55}{100} = 1{,}500 \times 0{,}55 = 825.
Portanto a alternativa (a) afirma que o valor pago foi \mathrm{R}\$\,825{,}00, o que está correto.

Passo 3

Explicação do que é desconto racional composto e análise da alternativa (b).
Conceito (aula rápida e prática): desconto racional composto (também chamado desconto por dentro, composto) usa a fórmula do valor presente de um montante futuro, descontando com capitalização composta. Se F é o valor nominal (futuro), i a taxa por período e n o número de períodos, o valor resgatado (valor atual) A é dado por
A=\frac{F}{(1+i)^{n}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • F: valor futuro ou nominal (o que será pago no vencimento);
  • i: taxa de desconto por período (meses, anos etc.);
  • n: número de períodos;
  • A: valor recebido hoje (valor resgatado).
No enunciado da alternativa (b) foi informado apenas que se aplicou desconto racional composto com taxa de 2\% ao mês e que o valor resgatado foi \mathrm{R}\$\,5.000{,}00. Essa afirmação é uma declaração do resultado (um valor atual), que só pode ser verificada se conhecermos F e n. Como o enunciado do teste (opções) não traz F nem n para essa opção isoladamente, não há cálculo numérico a fazer aqui para contradizer a afirmação: é perfeitamente possível que, para algum par (F,n), aplicando i=0{,}02 resulte A=5.000. Logo, nada nessa frase é logicamente impossível ou contraditório com a definição de desconto racional composto. Por isso, não há motivo para marcar (b) como incorreta a partir das informações dadas.
(Observação didática: se houvesse, por exemplo, informação de F e n, bastaria aplicar a fórmula acima para checar se A=5.000 está correto.)

Passo 4

Análise detalhada da alternativa (c) — apresentação da operação de desconto comercial simples e cálculo da taxa efetiva.
Primeiro, ensino rápido sobre desconto comercial simples (desconto “por fora”):
  • Se um título tem valor nominal V, taxa de desconto comercial simples d por período e prazo n períodos, então o desconto cobrado pelo banco é
D = V \cdot d \cdot n,
e o valor recebido (valor atual) pela empresa é
A = V - D = V(1 - d n).
Este é o entendimento padrão de “desconto comercial simples” (desconto por fora): desconta-se sobre o valor nominal sem capitalização.
No enunciado temos d=0{,}02 (2% ao mês) e n=10 meses. Então:
A = V(1 - 0{,}02 \times 10) = V(1 - 0{,}20) = 0{,}80\,V.
Ou seja, a empresa recebe 80\% do valor nominal.
Agora: o que significa “taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação”? Há duas interpretações razoáveis que costumam aparecer em provas:
  1. Interpretação composta (mais comum ao falar “taxa efetiva mensal”): encontrar i tal que, capitalizando essa taxa por n meses, se tenha a mesma relação entre nominal e atual:
(1+i)^{n} = \frac{V}{A} = \frac{1}{1 - d n}.
No nosso caso:
\frac{V}{A}=\frac{1}{0{,}80}=1{,}25.
Logo
1+i = (1{,}25)^{1/10}\quad\Rightarrow\quad i=(1{,}25)^{1/10}-1.
Faço o cálculo aproximado usando logaritmo:
\ln(1{,}25)\approx 0{,}22314355,\qquad \frac{\ln(1{,}25)}{10}\approx 0{,}022314355,
i \approx e^{0{,}022314355}-1 \approx 0{,}02257.
Em porcentagem:
i \approx 2{,}257\%\\ \text{ao mês} \quad(\text{aprox. }2{,}26\%).ê
  1. Interpretação por equivalência em juros simples (às vezes usada como “taxa mensal equivalente” quando se quer uma taxa i_s em juros simples tal que A = V/(1 + i_s n)). Igualando
\frac{V}{1 + i_s n} = A = V(1 - d n) \quad\Rightarrow\quad 1 + i_s n = \frac{1}{1 - d n},
i_s = \frac{1}{n}\left(\frac{1}{1 - d n} - 1\right) = \frac{d}{1 - d n}.
Substituindo d=0{,}02 e n=10:
i_s = \frac{0{,}02}{1 - 0{,}20} = \frac{0{,}02}{0{,}80} = 0{,}025 = 2{,}5\% \\ \text{ao mês}.ê
Ambas as interpretações razoáveis (equivalente composto mensal e equivalente em juros simples) fornecem taxas da ordem de 2{,}26\% ou 2{,}5\% ao mês, muito distantes de 3{,}5\%.
A alternativa (c) afirma que a taxa efetiva mensal cobrada é 3{,}5\%. Isso não coincide nem com a interpretação composta ( \approx 2{,}26\%) nem com a interpretação por equivalência simples ( 2{,}5\%). Portanto a afirmação (c) está incorreta.

Passo 5

Análise detalhada da alternativa (d).
Aplicando a fórmula do desconto comercial simples (desconto “por fora”):
  • Valor nominal V=12{,}000,
  • taxa mensal d=6\%=0{,}06,
  • prazo n=3 meses (três meses antes do vencimento).
Desconto:
D = V \cdot d \cdot n = 12{,}000 \times 0{,}06 \times 3.
Faço as contas passo a passo:
0{,}06 \times 3 = 0{,}18,
D = 12{,}000 \times 0{,}18 = 2{,}160.
Valor atual:
A = V - D = 12{,}000 - 2{,}160 = 9{,}840.
Portanto a alternativa (d) está correta.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • (a) correta;
  • (b) não contraditória com a definição de desconto racional composto dada a falta de F e n (portanto considerada correta dentro do contexto das opções);
  • (c) incorreta, pois a taxa efetiva mensal resultante do desconto comercial simples com d=2\% e n=10 é aproximadamente 2{,}26\% (composta) ou 2{,}5\% (equivalente em juros simples), e não 3{,}5\%;
  • (d) correta.

Resposta

c.

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