Assinale a alternativa INCORRETA:
a. Para efetuar a quitação de qualquer dívida de seus clientes, um banco oferece um desconto de
para a quitação do valor total da dívida. Um cliente possui uma dívida total de
1.500,00
\mathrm{R} $825,00
;
c. A empresa
desconta um título de valor nominal
em um banco que realiza essa operação aplicando taxa de desconto comercial simples (ou “por fora”, como essa modalidade de cobrança também é conhecida) de
ao mês. Se o prazo para apresentação do título é de
meses, então a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação é de 3,5%.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ENGENHARIA ECONÔMICA
d. Uma nota promissória com valor nominal de
12.000,00
6 %
9.840,00.
a. Para efetuar a quitação de qualquer dívida de seus clientes, um banco oferece um desconto de
c. A empresa
Passo 1
O enunciado pede para assinalar a alternativa INCORRETA dentre as quatro dadas. Vou listar, de forma clara, as informações numéricas e o que cada alternativa afirma:
- Alternativa (a): desconto de
sobre dívida de ; afirma que o valor pago foi . - Alternativa (b): afirma que foi aplicado um desconto racional composto com taxa de desconto de
ao mês e que o valor resgatado foi . - Alternativa (c): um título de valor nominal
é descontado por um banco com desconto comercial simples de ao mês; prazo de apresentação meses; afirma que a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação é . - Alternativa (d): nota promissória nominal
, descontada à taxa comercial simples de ao mês, três meses antes do vencimento; afirma que o valor atual é .
O objetivo é verificar a veracidade de cada afirmação e indicar qual é a incorreta.
Passo 2
Análise detalhada da alternativa (a).
Primeiro, o conceito usado aqui é desconto percentual simples sobre o montante total: se há desconto de
, o cliente paga
do valor original.
Cálculo:
Faço a multiplicação:
Portanto a alternativa (a) afirma que o valor pago foi
, o que está correto.
Passo 3
Explicação do que é desconto racional composto e análise da alternativa (b).
Conceito (aula rápida e prática): desconto racional composto (também chamado desconto por dentro, composto) usa a fórmula do valor presente de um montante futuro, descontando com capitalização composta. Se
é o valor nominal (futuro),
a taxa por período e
o número de períodos, o valor resgatado (valor atual)
é dado por
Aqui cada símbolo significa:
-
: valor futuro ou nominal (o que será pago no vencimento); -
: taxa de desconto por período (meses, anos etc.); -
: número de períodos; -
: valor recebido hoje (valor resgatado).
No enunciado da alternativa (b) foi informado apenas que se aplicou desconto racional composto com taxa de
ao mês e que o valor resgatado foi
. Essa afirmação é uma declaração do resultado (um valor atual), que só pode ser verificada se conhecermos
e
. Como o enunciado do teste (opções) não traz
nem
para essa opção isoladamente, não há cálculo numérico a fazer aqui para contradizer a afirmação: é perfeitamente possível que, para algum par
, aplicando
resulte
. Logo, nada nessa frase é logicamente impossível ou contraditório com a definição de desconto racional composto. Por isso, não há motivo para marcar (b) como incorreta a partir das informações dadas.
(Observação didática: se houvesse, por exemplo, informação de
e
, bastaria aplicar a fórmula acima para checar se
está correto.)
Passo 4
Análise detalhada da alternativa (c) — apresentação da operação de desconto comercial simples e cálculo da taxa efetiva.
Primeiro, ensino rápido sobre desconto comercial simples (desconto “por fora”):
- Se um título tem valor nominal
, taxa de desconto comercial simples por período e prazo períodos, então o desconto cobrado pelo banco é
e o valor recebido (valor atual) pela empresa é
Este é o entendimento padrão de “desconto comercial simples” (desconto por fora): desconta-se sobre o valor nominal sem capitalização.
No enunciado temos
(2% ao mês) e
meses. Então:
Ou seja, a empresa recebe
do valor nominal.
Agora: o que significa “taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco nessa operação”? Há duas interpretações razoáveis que costumam aparecer em provas:
- Interpretação composta (mais comum ao falar “taxa efetiva mensal”): encontrar
tal que, capitalizando essa taxa por meses, se tenha a mesma relação entre nominal e atual:
No nosso caso:
Logo
Faço o cálculo aproximado usando logaritmo:
Em porcentagem:
- Interpretação por equivalência em juros simples (às vezes usada como “taxa mensal equivalente” quando se quer uma taxa
em juros simples tal que ). Igualando
Substituindo
e
:
Ambas as interpretações razoáveis (equivalente composto mensal e equivalente em juros simples) fornecem taxas da ordem de
ou
ao mês, muito distantes de
.
A alternativa (c) afirma que a taxa efetiva mensal cobrada é
. Isso não coincide nem com a interpretação composta (
) nem com a interpretação por equivalência simples (
). Portanto a afirmação (c) está incorreta.
Passo 5
Análise detalhada da alternativa (d).
Aplicando a fórmula do desconto comercial simples (desconto “por fora”):
- Valor nominal
, - taxa mensal
, - prazo
meses (três meses antes do vencimento).
Desconto:
Faço as contas passo a passo:
Valor atual:
Portanto a alternativa (d) está correta.
Passo 6
Resumo das verificações:
- (a) correta;
- (b) não contraditória com a definição de desconto racional composto dada a falta de
e (portanto considerada correta dentro do contexto das opções); - (c) incorreta, pois a taxa efetiva mensal resultante do desconto comercial simples com
e é aproximadamente (composta) ou (equivalente em juros simples), e não ; - (d) correta.
Resposta
c.